§1.3基本逻辑联结词、全称量词与存在量词1．命题p∧q，p∨q，綈p的真假关系表pqp∧qp∨q綈p真真真真假真假假真假假真假真真假假假假真2.全称量词和存在量词量词名称常见量词表示符号全称量词所有、一切、任意、全部、每一个、任给等∀存在量词存在一个、至少有一个、有一个、某个、有些、某些等∃3.全称命题和存在性命题命题名称命题结构命题简记全称命题对M中任意一个x，有p(x)成立∀x∈M，p(x)存在性命题存在M中的一个x0，使p(x0)成立∃x0∈M，p(x0)4.含有一个量词的命题的否定命题命题的否定∀x∈M，p(x)∃x0∈M，綈p(x0)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，綈p(x)【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)命题p∧q为假命题，则命题p、q都是假命题．(×)(2)已知命题p：∃n0∈N,>1000，则綈p：∃n∈N,≤1000.(×)(3)命题p和綈p不可能都是真命题．(√)(4)命题“∀x∈R，x2≥0”的否定是“∀x∈R，x2<0”．(×)(5)“有些偶数能被3整除”的否定是“所有的偶数都不能被3整除”．(√)(6)命题“∃x0∈R,≤0”是假命题．(√)1．命题p：∀x∈R，sinx<1；命题q：∃x∈R，cosx≤－1，则下列结论是真命题的是________．①p∧q;②綈p∧q；③p∨綈q;④綈p∧綈q.答案②解析 p是假命题，q是真命题，∴綈p∧q是真命题．2．(2013·重庆改编)命题“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定为________．答案存在x0∈R，使得x<0解析因为“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x0∈M，綈p(x0)”，故“对任意x∈R，都有x2≥0”的否定是“存在x0∈R，使得x<0”．3.(2014·重庆改编)已知命题p：对任意x∈R，总有2x>0；q：“x>1”是“x>2”的充分不必要条件．则下列命题为真命题的是________．①p∧q;②綈p∧綈q；③綈p∧q;④p∧綈q.答案④解析因为指数函数的值域为(0，＋∞)，所以对任意x∈R，y＝2x>0恒成立，故p为真命题；因为当x>1时，x>2不一定成立，反之当x>2时，一定有x>1成立，故“x>1”是“x>2”的必要不充分条件，故q为假命题，则p∧q、綈p为假命题，綈q为真命题，綈p∧綈q、綈p∧q为假命题，p∧綈q为真命题，故④正确．4．若命题“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则实数m的取值范围是________．答案[－4,0]解析“∃x∈R，x2－mx－m<0”是假命题，则“∀x∈R，x2－mx－m≥0”是真命题．即Δ＝m2＋4m≤0，∴－4≤m≤0.题型一含有逻辑联结词命题的真假判断例1(1)命题p：将函数y＝sin2x的图象向右平移个单位得到函数y＝sin的图象；命题q：函数y＝sincos的最小正周期为π，则命题“p∨q”“p∧q”“綈p”中真命题的个数是________．(2)已知命题p：若a>1，则ax>logax恒成立；命题q：在等差数列{an}中，m＋n＝p＋q是an＋am＝ap＋aq的充分不必要条件(m，n，p，q∈N*)．则下面选项中真命题是________．①(綈p)∧(綈q)②(綈p)∨(綈q)③p∨(綈q)④p∧q答案(1)2(2)②解析(1)函数y＝sin2x的图象向右平移个单位后，所得函数为y＝sin＝sin，∴命题p是假命题．又y＝sincos＝sincos＝sin2＝－cos，∴其最小正周期为T＝＝π，∴命题q真．由此，可判断命题“p∨q”真，“p∧q”假，“綈p”为真．所以真命题的个数是2.(2)当a＝1.1，x＝2时，ax＝1.12＝1.21，logax＝log1.12>log1.11.21＝2，此时，axy，则－x<－y；命题q：若x>y，则x2>y2.在命题①p∧q；②p∨q；③p∧(綈q)；④(綈p)∨q中，真命题是________．(2)“p或q”为真命题是“p且q”为真命题的________条件．答案(1)②③(2)必要不充分解析(1)当x>y时，－x<－y，故命题p为真命题，从而綈p为假命题．当x>y时，x2>y2不一定成立，故命题q为假命题，从而綈q为真命题．由真值表知，①p∧q为...
