第5讲椭圆第1课时一、选择题1.椭圆+=1的焦距为2,则m的值是()A.6或9B.5C.1或9D.3或5解析:选D.由题意,得c=1,当椭圆的焦点在x轴上时,由m-4=1,解得m=5;当椭圆的点在y轴上时,由4-m=1,解得m=3,所以m的值是3或5,故选D.2.已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x-y+=0相切,则椭圆C的方程为()A.+=1B.+=1C.+=1D.+=1解析:选C.由题意知e==,所以e2===,即a2=b2.以原点为圆心,椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2+y2=b2,由题意可知b==,所以a2=4,b2=3.故椭圆C的方程为+=1,故选C.3.设椭圆+=1的焦点为F1,F2,点P在椭圆上,若△PF1F2是直角三角形,则△PF1F2的面积为()A.3B.3或C.D.6或3解析:选C.由已知a=2,b=,c=1,则点P为短轴顶点(0,)时,∠F1PF2=,△PF1F2是正三角形,若△PF1F2是直角三角形,则直角顶点不可能是点P,只能是焦点F1(或F2)为直角顶点,此时|PF1|==,S△PF1F2=··2c==.故选C.4.已知F是椭圆+=1(a>b>0)的左焦点,A为右顶点,P是椭圆上一点,PF⊥x轴,|PF|=|AF|,则该椭圆的离心率是()A.B.C.D.解析:选B.由题可知点P的横坐标是-c,代入椭圆方程,有+=1,得y=±.又|PF|=|AF|,即=(a+c),化简得4c2+ac-3a2=0,即4e2+e-3=0,解得e=或e=-1(舍去).5.如图,椭圆+=1(a>0)的左、右焦点分别为F1,F2,P点在椭圆上,若|PF1|=4,∠F1PF2=120°,则a的值为()A.2B.3C.4D.5解析:选B.b2=2,c=,故|F1F2|=2,又|PF1|=4,|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2a-4,由余1弦定理得cos120°==-,化简得8a=24,即a=3,故选B.6.过椭圆+=1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为()A.B.C.D.解析:选B.由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1,0),则直线AB的方程为y=2x-2.联立解得交点A(0,-2),B,所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=×1×=,故选B.二、填空题7.已知方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则实数k的取值范围是________.解析:因为方程+=1表示焦点在y轴上的椭圆,则由得故k的取值范围为(1,2).答案:(1,2)8.已知两圆C1:(x-4)2+y2=169,C2:(x+4)2+y2=9,动圆在圆C1内部且和圆C1相内切,和圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.解析:设圆M的半径为r,则|MC1|+|MC2|=(13-r)+(3+r)=16>8=|C1C2|,所以M的轨迹是以C1,C2为焦点的椭圆,且2a=16,2c=8,故所求的轨迹方程为+=1.答案:+=19.已知椭圆C的中心在原点,一个焦点F(-2,0),且长轴长与短轴长的比是2∶,则椭圆C的方程是__________________.解析:设椭圆C的方程为+=1(a>b>0).由题意知所以椭圆C的方程为+=1.答案:+=110.如图,焦点在x轴上的椭圆+=1的离心率e=,F,A分别是椭圆的一个焦点和顶点,P是椭圆上任意一点,则PF·PA的最大值为________.解析:设P点坐标为(x0,y0).由题意知a=2,因为e==,所以c=1,b2=a2-c2=3.故所求椭圆方程为+=1.所以-2≤x0≤2,-≤y0≤.因为F(-1,0),A(2,0),PF=(-1-x0,-y0),PA=(2-x0,-y0),所以PF·PA=x-x0-2+y=x-x0+1=(x0-2)2.即当x0=-2时,PF·PA取得最大值4.答案:4三、解答题11.已知椭圆C:x2+2y2=4.2(1)求椭圆C的离心率.(2)设O为原点.若点A在直线y=2上,点B在椭圆C上,且OA⊥OB,求线段AB长度的最小值.解:(1)由题意,椭圆C的标准方程为+=1.所以a2=4,b2=2,从而c2=a2-b2=2.因此a=2,c=.故椭圆C的离心率e==.(2)设点A,B的坐标分别为(t,2),(x0,y0),其中x0≠0.因为OA⊥OB,所以OA·OB=0,即tx0+2y0=0,解得t=-.又x+2y=4,所以|AB|2=(x0-t)2+(y0-2)2=+(y0-2)2=x+y++4=x+++4=++4(0