第5讲椭圆第1课时一、选择题1．椭圆＋＝1的焦距为2，则m的值是()A．6或9B．5C．1或9D．3或5解析：选D．由题意，得c＝1，当椭圆的焦点在x轴上时，由m－4＝1，解得m＝5；当椭圆的点在y轴上时，由4－m＝1，解得m＝3，所以m的值是3或5，故选D．2．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率为，以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆与直线x－y＋＝0相切，则椭圆C的方程为()A．＋＝1B．＋＝1C．＋＝1D．＋＝1解析：选C．由题意知e＝＝，所以e2＝＝＝，即a2＝b2．以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆的方程为x2＋y2＝b2，由题意可知b＝＝，所以a2＝4，b2＝3．故椭圆C的方程为＋＝1，故选C．3．设椭圆＋＝1的焦点为F1，F2，点P在椭圆上，若△PF1F2是直角三角形，则△PF1F2的面积为()A．3B．3或C．D．6或3解析：选C．由已知a＝2，b＝，c＝1，则点P为短轴顶点(0，)时，∠F1PF2＝，△PF1F2是正三角形，若△PF1F2是直角三角形，则直角顶点不可能是点P，只能是焦点F1(或F2)为直角顶点，此时|PF1|＝＝，S△PF1F2＝··2c＝＝．故选C．4．已知F是椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点，A为右顶点，P是椭圆上一点，PF⊥x轴，|PF|＝|AF|，则该椭圆的离心率是()A．B．C．D．解析：选B．由题可知点P的横坐标是－c，代入椭圆方程，有＋＝1，得y＝±．又|PF|＝|AF|，即＝(a＋c)，化简得4c2＋ac－3a2＝0，即4e2＋e－3＝0，解得e＝或e＝－1(舍去)．5．如图，椭圆＋＝1(a>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P点在椭圆上，若|PF1|＝4，∠F1PF2＝120°，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解析：选B．b2＝2，c＝，故|F1F2|＝2，又|PF1|＝4，|PF1|＋|PF2|＝2a，|PF2|＝2a－4，由余1弦定理得cos120°＝＝－，化简得8a＝24，即a＝3，故选B．6．过椭圆＋＝1的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A，B两点，O为坐标原点，则△OAB的面积为()A．B．C．D．解析：选B．由题意知椭圆的右焦点F的坐标为(1，0)，则直线AB的方程为y＝2x－2．联立解得交点A(0，－2)，B，所以S△OAB＝·|OF|·|yA－yB|＝×1×＝，故选B．二、填空题7．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是________．解析：因为方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则由得故k的取值范围为(1，2)．答案：(1，2)8．已知两圆C1：(x－4)2＋y2＝169，C2：(x＋4)2＋y2＝9，动圆在圆C1内部且和圆C1相内切，和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________．解析：设圆M的半径为r，则|MC1|＋|MC2|＝(13－r)＋(3＋r)＝16>8＝|C1C2|，所以M的轨迹是以C1，C2为焦点的椭圆，且2a＝16，2c＝8，故所求的轨迹方程为＋＝1．答案：＋＝19．已知椭圆C的中心在原点，一个焦点F(－2，0)，且长轴长与短轴长的比是2∶，则椭圆C的方程是__________________．解析：设椭圆C的方程为＋＝1(a>b>0)．由题意知所以椭圆C的方程为＋＝1．答案：＋＝110．如图，焦点在x轴上的椭圆＋＝1的离心率e＝，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为________．解析：设P点坐标为(x0，y0)．由题意知a＝2，因为e＝＝，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3．故所求椭圆方程为＋＝1．所以－2≤x0≤2，－≤y0≤．因为F(－1，0)，A(2，0)，PF＝(－1－x0，－y0)，PA＝(2－x0，－y0)，所以PF·PA＝x－x0－2＋y＝x－x0＋1＝(x0－2)2．即当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4．答案：4三、解答题11．已知椭圆C：x2＋2y2＝4．2(1)求椭圆C的离心率．(2)设O为原点．若点A在直线y＝2上，点B在椭圆C上，且OA⊥OB，求线段AB长度的最小值．解：(1)由题意，椭圆C的标准方程为＋＝1．所以a2＝4，b2＝2，从而c2＝a2－b2＝2．因此a＝2，c＝．故椭圆C的离心率e＝＝．(2)设点A，B的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中x0≠0．因为OA⊥OB，所以OA·OB＝0，即tx0＋2y0＝0，解得t＝－．又x＋2y＝4，所以|AB|2＝(x0－t)2＋(y0－2)2＝＋(y0－2)2＝x＋y＋＋4＝x＋＋＋4＝＋＋4(0
