第51讲空间几何点的坐标的写法【知识要点】一、空间向量的正交分解空间的任意向量，均可分解为不共面的三个向量、、，使.如果两两垂直，这种分解就是空间向量的正交分解.二、空间向量基本定理如果三个向量不共面，那么对于空间任意一个向量，存在一个唯一的有序实数组使.我们把叫做空间的一个基底，其中叫基向量.三、单位正交分解如果空间一个基底的三个基向量互相垂直，长度都为1个单位，则这个基底叫做单位正交基底，通常用{}表示.四、空间直角坐标若为有公共起点的三个两两垂直的单位向量，分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，有序实数组使得，我们把称作向量在单位正交基底下的坐标，记作，则坐标就是向量的坐标.五、写空间点的坐标常用的有直接观察法、向量法、作坐标线法三种.【方法讲评】方法一直接观察法使用情景点的位置比较特殊，一般在坐标轴上或其它特殊位置.解题步骤直接利用空间向量点坐标的定义观察写出点的坐标.【例1】如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点，是的延长线与的延长线的交点，且∥平面．（1）求证：；（2）求二面角的正弦值．由（1）知为中点∴点坐标分别为，，，设平面的法向量 且∴取【点评】该题中的几何体比较特殊的几何体直三棱柱，题目中的各个点比较容易直接观察得到，所以选择直接观察法写出各点的坐标.在正方体、长方体、直棱柱、正棱柱等特殊几何体中也常用直接观察法.【反馈检测1】如图，在四棱锥中，底面是正方形，侧棱⊥底面，，是的中点，作交于点．（1）求证：平面；（2）求二面角的正弦值．方法二向量法使用情景点在一般位置，不是特殊位置.解题步骤利用向量的关系计算出空间点的坐标.【例2】己知四棱锥，其中底面为矩形侧棱，其中,，为侧棱上的两个三等分点，如图所示：（1）求证：；（2）求二面角的余弦值．（2）易知为等腰直角三角形,所以为外接圆的直径,所以,,如图所示，以为原点，建立空间直角坐标系，则(0,0,0)，(3,0,0)，(3,6,0)，(0,6,0)，(0,0,3)，设坐标为,由题得,所以所以,所以坐标为(2,4,1)，同理点坐标为(1,2,2)，设平面的法向量为,，并且,，令得,【点评】本题中的点的坐标不是很好写，所以要根据向量的关系列出方程，再解方程即可推算出的坐标.【例3】如图，在各棱长均为2的三棱柱中，侧面，．（Ⅰ）求侧棱与平面所成角的正弦值的大小；（Ⅱ）已知点满足，在直线上是否存在点，使∥平面？若存在，请确定点的位置；若不存在，请说明理由．【解析】（Ⅰ） 侧面，作于点，∴．又，且各棱长都相等，∴，，故以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则（0，﹣1，0），（，0，0），，（0，1，0），.（Ⅱ） ，而∴．又 ，∴点的坐标为．假设存在点符合题意，则点的坐标可设为．∴ ∥平面，为平面的法向量，∴由，得，∴．又，故存在点，使∥平面，其坐标为，即恰好为点．【点评】本题中的点的坐标不是很好写，但是利用列出关于点坐标的方程便可以比较方便地写出它的坐标.【反馈检测2】正三棱锥的三条侧棱两两垂直，且长度均为2．分别是的中点，是的中点，过的一个平面与侧棱或其延长线分别相交于，已知．（1）证明：平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求点到平面的距离.方法三作坐标线法使用情景点所在的三角形是直角三角形.解题步骤作出点的坐标线，根据坐标线写出点的坐标.【例4】如图，四棱锥的底面为矩形，且，，，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值．（Ⅱ）以点为坐标原点，所在的直线为轴建立空间直角坐标系如右图示，则依题意可得,可得平面的单位法向量为，设直线与平面所成角为，则∴，即直线与平面所成角的正弦值为.【点评】本题中点的坐标，直接观察不是很方便，需要过点作,垂足为,再解三角形，得到的长度，即可得到点的坐标.【反馈检测3】如图在底面为菱形的四棱锥，，点在上，且．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求二面角的正弦值；（Ⅲ）在棱上是否存在点使得平面？若存在，试求的值；若不存在，请说明理由．高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第51讲：空间几何点的坐标的写法参考答案【反馈检测1答案】（1）证明过程详见解析；（2）.【反馈检测1详细解析】如图建立空间...
