第8章平面解析几何第8讲A组基础关1.已知点F(0,1),直线l:y=-1,P为平面上的动点,过点P作直线l的垂线,垂足为Q,且QP·QF=FP·FQ,则动点P的轨迹C的方程为()A.x2=4yB.y2=3xC.x2=2yD.y2=4x答案A解析设点P(x,y),则Q(x,-1). QP·QF=FP·FQ,∴(0,y+1)·(-x,2)=(x,y-1)·(x,-2),即2(y+1)=x2-2(y-1),整理得x2=4y,∴动点P的轨迹C的方程为x2=4y.2.(2018·安顺三模)曲线C:x2+2xy+4=0的对称性为()A.关于原点成中心对称B.关于点(-2,0)成中心对称C.关于直线y=x对称D.曲线C不具有对称性答案A解析设点P(a,b)(a,b∈R)在曲线上,则a2+2ab+4=0,即(-a)2+2(-a)(-b)+4=0,则P点关于原点的对称点P′(-a,-b)也在曲线上,∴曲线关于原点对称.3.(2018·安徽六安一中月考)如图,已知F1,F2是椭圆Γ:+=1(a>b>0)的左、右焦点,P是椭圆Γ上任意一点,过F2作∠F1PF2的外角的角平分线的垂线,垂足为Q,则点Q的轨迹为()A.直线B.圆C.椭圆D.双曲线答案B解析延长F2Q,与F1P的延长线交于点M,连接OQ.因为PQ是∠F1PF2的外角的角平分线,且PQ⊥F2M,所以在△PF2M中,|PF2|=|PM|,且Q为线段F2M的中点.又O为线段F1F2的中点,由三角形的中位线定理,得|OQ|=|F1M|=(|PF1|+|PF2|).根据椭圆的定义,得|PF1|+|PF2|=2a,所以|OQ|=a,所以点Q的轨迹为以原点为圆心,半径为a的圆,故选B.14.已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积为________.答案4π解析设点P的坐标为(x,y).则由|PA|=2|PB|得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积为4π.5.已知△ABC的顶点A,B的坐标分别为(-4,0),(4,0),C为动点,且满足sinB+sinA=sinC,则C点的轨迹方程为________.答案+=1(x≠±5)解析由sinB+sinA=sinC利用正弦定理可知|AC|+|BC|=|AB|=10>|AB|,所以点C的轨迹是以A,B为焦点,长轴长为10的椭圆(不含左、右顶点),其轨迹方程为+=1(x≠±5).6.如图,P是椭圆+=1(a>b>0)上的任意一点,F1,F2是它的两个焦点,O为坐标原点,且OQ=PF1+PF2,则动点Q的轨迹方程是________.答案+=1解析由于OQ=PF1+PF2,又PF1+PF2=2PO=-2OP.设Q(x,y),则OP=-OQ=,即P点坐标为,又P在椭圆上,则有+=1,即Q的轨迹方程为+=1.B组能力关1.与圆x2+y2-4x=0外切,又与y轴相切的圆的圆心轨迹方程是()A.y2=8xB.y2=8x(x>0)和y=0C.y2=8x(x>0)D.y2=8x(x>0)和y=0(x≤0)答案D解析如图,设与y轴相切且与圆C:x2+y2-4x=0外切的圆心为P(x,y),半径为r,2则=|x|+2.若x>0,则y2=8x;若x≤0,则y=0.2.(2018·沈阳月考)在△ABC中,B(-,0),C(,0),AB,AC边上的中线长之和为9.则△ABC重心G的轨迹方程是()A.+=1(y≠0)B.+=1(y≠0)C.-y2=1(y≠0)D.x2-=1(y≠0)答案B解析设AB,AC边上的中线分别为CD,BE, BG=BE,CG=CD,∴BG+CG=(BE+CD)=6(定值).因此,G的轨迹为以B,C为焦点的椭圆,且2a=6,c=,∴a=3,b=2,可得椭圆的方程为+=1. 当G点在x轴上时,A,B,C三点共线,不能构成△ABC.∴G的纵坐标不能是0,可得△ABC的重心G的轨迹方程为+=1(y≠0).故选B.3.已知圆C:x2+y2=25,过点M(-2,3)作直线l交圆C于A,B两点,分别过A,B两点作圆的切线,当两条切线相交于点Q时,点Q的轨迹方程为________.答案2x-3y+25=0解析圆C:x2+y2=25的圆心C为(0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),Q(x0,y0),因为AQ与圆C相切,所以AQ⊥CA,所以(x1-x0)(x1-0)+(y1-y0)(y1-0)=0,即x-x0x1+y-y0y1=0,因为x+y=25,所以x0x1+y0y1=25,同理x0x2+y0y2=25,所以过点A,B的直线方程为xx0+yy0=25.因为直线AB过点M(-2,3),所以得-2x0+3y0=25,所以点Q的轨迹方程为2x-3y+25=0.4.已知长为1+的线段AB的两个端点A,B分别在x轴、y轴上滑动,P是AB上一点,且AP=PB,则点P的轨迹C的方程为________.答案+y2=1解析设A(x0,0),B(0,y0),P(x,y),则AP=(x-x0,y),PB=(-x,y0-y...