【课时训练】圆锥曲线的综合问题一、选择题1．(2018昆明两区七校调研)过抛物线y2＝x的焦点F的直线l交抛物线于A，B两点，且直线l的倾斜角θ≥，点A在x轴上方，则|AF|的取值范围是()A.B.C.D.【答案】D【解析】记点A的横坐标是x1，则有|AF|＝x1＋＝＋＝＋|AF|cosθ，|AF|(1－cosθ)＝，|AF|＝.由≤θ<π，得－10，b>0)的左，右焦点，对于左支上任意一点P都有|PF2|2＝8a|PF1|(a为实半轴长)，则此双曲线的离心率e的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(2,3]C．(1,3]D．(1,2]【答案】C【解析】由P是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义，得|PF2|＝2a＋|PF1|，所以＝|PF1|＋＋4a＝8a.所以|PF1|＝2a，|PF2|＝4a.在△PF1F2中，|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|，即2a＋4a≥2c，所以e＝≤3.又e>1，所以10，得m＋2>2，<，－>－，∴1－>，即e>.而0b>0)的右顶点为A(1,0)，过C1的焦点且垂直长轴的弦长为1.(1)求椭圆C1的方程；(2)设点P在抛物线C2：y＝x2＋h(h∈R)上，C2在点P处的切线与C1交于点M，N.当线段AP的中点与MN的中点的横坐标相等时，求h的最小值．【解】(1)由题意，得解得因此，所求椭圆C1的方程为＋x2＝1.(2)如图，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，P(t，t2＋h)，则抛物线C2在点P处的切线斜率为y′|x＝t＝2t.直线MN的方程为y＝2tx－t2＋h.将上式代入椭圆C1的方程中，得4x2＋(2tx－t2＋h)2－4＝0，即4(1＋t2)x2－4t(t2－h)x＋(t2－h)2－4＝0.①因为直线MN与椭圆C1有两个不同的交点，所以①式中的Δ1＝16[－t4＋2(h＋2)t2－h2＋4]>0.②设线段MN的中点的横坐标是x3，则x3＝＝.设线段PA的中点的横坐标是x4，则x4＝.由题意，得x3＝x4，即t2＋(1＋h)t＋1＝0.③由③式中的Δ2＝(1＋h)2－4≥0，得h≥1或h≤－3.当h≤－3时，h＋2<0,4－h2<0，则不等式②不成立，所以h≥1.当h＝1时，代入方程③，得t＝－1，将h＝1，t＝－1代入不等式②，检验成立．所以h的最小值为1.6．(2018安徽亳州联考)已知抛物线E：y2＝2px(p＞0)与过点M(a,0)(a＞0)的直线l交于A，B两点，且总有OA⊥OB.(1)确定p与a的数量关系；2(2)若|OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，求λ的取值范围．【解】(1)设l：ty＝x－a，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去x得y2－2pty－2pa＝0.∴y1＋y2＝2pt，y1y2＝－2pa，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，∴a2－2pa＝0. a＞0，∴a＝2p.(2)由(1)可得|AB|＝|y1－y2|＝2p·.|AM|·|MB|＝AM·MB＝(a－x1)(x2－a)－y1y2＝－x1x2＋a(x1＋x2)－a2－y1y2＝a·－a2＝4p2(1＋t2)． |OM|·|AB|＝λ|AM|·|MB|，∴a·2p＝λ·4p2(1＋t2)，∴λ＝＝. t2≥0，∴λ∈(1,2]．7．(2018北京西城区模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，短轴长为2.(1)求椭圆C的标准方程；(2)如图，椭圆左顶点为A，过原点O的直线(与坐标轴不重合)与椭圆C交于P，Q两点，直线PA，QA分别与y轴交于M，N两点．试问以MN为直径...
