第三节简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词题号123456答案1.(2014·湖北卷)命题“∀x∈R，x2≠x”的否定是()A．∀x∉R，x2≠xB．∀x∈R，x2＝xC．∃x∉R，x2≠xD．∃x∈R，x2＝x解析：全称命题的否定方法是先改变量词，然后否定结论，故所求的命题是“∃x∈R，x2＝x”．故选D.答案：D2．(2013·湖北黄冈上学期期末)命题“所有实数的平方都是正数”的否定为()A．所有实数的平方都不是正数B．有的实数的平方是正数C．至少有一个实数的平方是正数D．至少有一个实数的平方不是正数答案：D3．(2013·新课标全国卷Ⅰ)已知命题p：∀x∈R，2x＜3x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∧qC．p∧(綈q)D．(綈p)∧(綈q)解析：由指数函数的性质知，命题p是错误的．而命题q是正确的．故选B.答案：B4．“命题‘∃x∈R，x2＋ax－4a＜0’为假命题”是“－16≤a≤0”的()A．充要条件B．必要不充分条件C．充分不必要条件D．既不充分也不必要条件解析：因为“∃x∈R，x2＋ax－4a＜0”为假命题，所以“∀x∈R，x2＋ax－4a≥0”为真命题．所以Δ＝a2＋16a≤0，即－16≤a≤0.故选A.答案：A5．已知命题p：函数y＝sin4x是周期函数，命题q：函数y＝tanx在上单调递减，则下列命题为真命题的是()A．p∧qB．(綈p)∨qC．(綈p)∧(綈q)D．p∨q解析：本题先判断命题p，q的真假，再依真值表来判断复合命题的真假．因为函数y＝sin4x的最小正周期为，故命题p为真命题；因为函数y＝tanx在上单调递增，故命题q为假命题，所以p∧q为假命题，(綈p)∨q为假命题，(綈p)∧(綈q)为假命题，排除A，B，C三项，故选D.答案：D6．给出如下四个判断：①∃x0∈R，ex0≤0；②∀x∈R＋，2x＞x2；③设a，b是实数，a＞1，b＞1是ab＞1的充要条件；④命题“若p，则q”的逆否命题是“若綈q，则綈p”．其中正确的判断个数是()A．1个B．2个C．3个D．4个解析：对任意x∈R，ex＞0，故①不正确；当x＝2时，2x＝x2，故②不正确；由ab＞1不能得到a＞1，b＞1，故③不正确；④正确，故选A.答案：A7．若命题“∃x∈R，使得x2＋(1－a)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是______________．解析：由题意可知，Δ＝(1－a)2－4>0，解得a<－1或a>3.答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8．(2013·辽宁五校协作体摸底文改编)命题p：∃x∈R，使sinx＋cosx＝；命题q：∀x∈R，都有2x2＋x＋2＞0.则下列说法正确的是____________(把正确的序号都填上)．①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(綈q)”是假命题；③命题“(綈p)∨q”是假命题；④命题“(綈p)∨(綈q)”是假命题．解析：命题p是真命题，命题q是真命题，所以綈p是假命题，綈q是假命题．从而可以判断①、②、④说法正确．答案：①②④9．已知命题p：f(x)＝x3－ax在(2，＋∞)为增函数，命题q：g(x)＝x2－ax＋3在(1，2)为减函数，若p或q为真命题，p且q为假命题，求a的取值范围．解析：p：f′(x)＝3x2－a≥0在(2，＋∞)上恒成立，则a≤3×22＝12;q：≥2，得a≥4.由“p或q为真，p且q为假”知：p真q假时，有得a＜4；p假q真时，有得a＞12.综上所述，a的取值范围为(－∞，4)∪(12，＋∞)．10．已知命题p：方程2x2＋ax－a2＝0在[－1，1]上有解；命题q：只有一个实数x0满足不等式x＋2ax0＋2a≤0，若命题“p∨q”是假命题，求实数a的取值范围．解析：由2x2＋ax－a2＝0得(2x－a)(x＋a)＝0，∴x＝或x＝－a，∴当命题p为真命题时≤1或|－a|≤1，∴|a|≤2.又“只有一个实数x0满足x＋2ax0＋2a≤0”，即抛物线y＝x2＋2ax＋2a与x轴只有一个交点，∴Δ＝4a2－8a＝0，∴a＝0或a＝2.∴当命题q为真命题时，a＝0或a＝2.∴命题“p∨q”为真命题时，|a|≤2.∵命题“p∨q”为假命题，∴a>2或a<－2.即a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
