第2讲点、直线、平面之间的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线、面位置关系的判断1,2,3,5,7空间角4,6线面平行、垂直的证明8,9,10折叠与探索性问题9,10一、选择题1.已知四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,DA,CD上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是(B)(A)AC∥平面EFH(B)BD∥平面EFG(C)直线GE,FH,BD相交于一点(D)EF∥GH解析:利用直线与平面平行的判定定理可得选项A正确,由题意可知,EF与GH平行但不相等,所以四边形EFHG是梯形,选项D正确,易知选项C正确,故选B.2.(2018·益阳市、湘潭市九月调研)如图中,G,N,M,H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点,则表示直线GH,MN是异面直线的图形有(C)(A)①③(B)②③(C)②④(D)②③④解析:由题意,可知题图①中,GH∥MN,因此直线GH与MN共面;题图②中,G,H,N三点共面,但M∉平面GHN,因此直线GH与MN异面;题图③中,连接MG,则GM∥HN,因此直线GH与MN共面;题图④中,连接GN,G,M,N三点共面,但H∉平面GMN,所以直线GH与MN异面,故选C.3.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(C)(A)A1E⊥DC1(B)A1E⊥BD(C)A1E⊥BC1(D)A1E⊥AC解析:如图,由题意可知A1E⊂平面A1B1CD,可以证明BC1⊥平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C.4.(2018·长沙市名校实验班上学期第二次阶段性测试)已知四边形ABCD为边长等于的正方形,PA⊥平面ABCD,QC∥PA,且异面直线QD与PA所成的角为30°,则四棱锥QABCD外接球的表面积等于(B)(A)π(B)25π(C)π(D)π解析:因为PA⊥平面ABCD,QC∥PA,所以QC⊥平面ABCD,且异面直线QD与PA所成的角即∠DQC,所以∠DQC=30°,又CD=,所以QC=.由于CB,CQ,CD两两垂直,所以四棱锥QABCD的外接球的直径就是以CB,CQ,CD为棱的长方体的体对角线,设四棱锥QABCD外接球的半径为R,则R=,所以外接球的表面积为4π·()2=25π.故选B.5.(2018·南昌市摸底调研)如图,四棱锥PABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,AC⊥BD,则下列结论不一定成立的是(B)(A)PB⊥AC(B)PD⊥平面ABCD(C)AC⊥PD(D)平面PBD⊥平面ABCD解析:如图,对于选项A,取PB的中点O,连接AO,CO.因为在四棱锥PABCD中,△PAB与△PBC是正三角形,平面PAB⊥平面PBC,所以AO⊥PB,CO⊥PB,因为AO∩CO=O,所以PB⊥平面AOC,因为AC⊂平面AOC,所以PB⊥AC,故选项A正确;对于选项B,设AC与BD交于点M,易知M为AC的中点,若PD⊥平面ABCD,则PD⊥BD,由已知条件知点D满足BD⊥AC且位于BM的延长线上,所以点D的位置不确定,所以PD与BD不一定垂直,所以PD⊥平面ABCD不一定成立,故选项B不正确;对于选项C,因为AC⊥PB,AC⊥BD,PB∩BD=B,所以AC⊥平面PBD,因为PD⊂平面PBD,所以AC⊥PD,故选项C正确;对于选项D,因为AC⊥平面PBD,AC⊂平面ABCD,所以平面PBD⊥平面ABCD,故选项D正确.故选B.二、填空题6.如图所示,在底面为正方形的四棱锥PABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点E为棱PA的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为.解析:取AD的中点F,连接EF,BF,则EF∥PD,所以∠BEF就是异面直线BE与PD所成的角或补角.在三角形BEF中,BF=,EF=1,BE=,由余弦定理得cos∠BEF=-,所以BE与PD所成角的余弦值为.答案:7.如图,已知六棱锥PABCDEF的底面是正六边形,PA⊥平面ABC,PA=2AB,则下列结论中:①PB⊥AE;②平面ABC⊥平面PBC;③直线BC∥平面PAE;④∠PDA=45°.其中正确的有(把所有正确的序号都填上).解析:由PA⊥平面ABC,得PA⊥AE,又由正六边形的性质得AE⊥AB,所以AE⊥平面PAB,所以AE⊥PB,故①正确;由题意可知平面PAE⊥平面ABC,所以平面ABC⊥平面PBC不成立,故②错;由正六边形性质得BD∥AE,若BC∥平面PAE,则BC∥AE,所以BD∥BC,这与BC与BD相交矛盾,故③错;设PA=2AB=2,则AE=,AD==2,所以PA=AD,所以△PAD为等腰直角三角形,所以∠PDA=45°,故④正确.答案:①④三、解答题8.(2018·福州市质检)在直三棱柱ABCA1B1C1中,△ABC为正三角形,AB=AA1,点D在棱BC上,且CD=3BD,点E,F分别为棱AB,BB1的中点.(1)证明:ED⊥平面BCC1B1;(2)若AB=4,求点C1到平面DEF的距离.(1)证明:法一取CB的中点G,连接AG,因为E为AB的中点,点D在棱BC上,且CD=3BD,所以AG∥ED,因为△ABC为正三角形,所以AG⊥BC,故ED⊥BC.直三棱柱ABCA1B1C1中,BB1⊥平面ABC,又DE⊂平面ABC,...
