第5讲函数的综合应用1.若实数x满足对任意正数a>0，均有a>x2－1，则x的取值范围是________．答案：[－1，1]解析：由题意得x2－1≤0，即－1≤x≤1.2.(2018·天星湖中学月考)定义运算：a*b＝如1*2＝1，则函数f(x)＝2x*2－x的值域为__________．答案：(0，1]解析：f(x)＝2x*2－x＝所以f(x)在(－∞，0]上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，所以0
0在x∈[1，2]内恒成立，则a的取值范围是________．答案：(－，＋∞)解析：ax2＋ax＋1>0可以化为a>，因为x∈[1，2]，所以x2＋x∈[2，6]，所以∈[－，－]，所以a的取值范围是(－，＋∞)．4.关于x的不等式x2＋9＋|x2－3x|≥kx在[1，5]上恒成立，则实数k的取值范围是________．答案：(－∞，6]解析：两边同除以x，则k≤x＋＋|x－3|，x＋≥6，|x－3|≥0，当且仅当x＝3时，两不等式同时取得等号，所以当x＝3时，右边取最小值6，所以k≤6.5.设函数f(x)＝|ax－x2|＋2b(a，b∈R)．当a＝－2，b＝－时，方程f(2x)＝0的根为________．答案：log23解析：当a＝－2，b＝－时，f(x)＝|x2＋2x|－15，所以方程即为|2x(2x＋2)|－15＝0，解得2x＝3或2x＝－5(舍去)，所以x＝log23.6.已知a>0且a≠1，当x∈(－1，1)时，不等式x2－ax<恒成立，则a的取值范围是________．答案：[，1)∪(1，2]解析：不等式x2－ax<可化为ax>x2－，画出y1＝ax，y2＝x2－的图象，如图所示．由图象可看出≤a<1或1f(2x)的解集用区间表示为________．答案：(－1，3)解析：根据题意，f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0，当x<0时，f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2为减函数，则当x>0时，f(x)也为减函数，综合可得f(x)在R上为减函数，若f(x2－3)>f(2x)，则有x2－3<2x，解得－1f(2x)的解集为(－1，3)．8.当x∈(－∞，－1]时，不等式(m2－m)4x－2x＜0恒成立，则实数m的取值范围是________．答案：(－1，2)解析：原不等式变形为m2－m＜()x，因为函数y＝()x在(－∞，－1]上是减函数，所以()x≥()－1＝2，当x∈(－∞，－1]时，m2－m＜()x恒成立等价于m2－m＜2，解得－1＜m＜2.9.已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________．答案：解析：由题意可知ln＋ln＝0，即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，又0＜a＜b＜1，所以0＜a＜，故0＜－＋＜.10.(2017·苏州期中)已知函数f(x)＝，若对于定义域内的任意x1，总存在x2使得f(x2)0时符合题意．综上，实数a的取值范围是[0，＋∞)．11.已知函数f(x)＝log2(－1)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)求方程f(x＋1)＋f(2x)＝－2的解．解：(1)由－1>0，即>0，解得0
