阶段提升突破练(二)(数列)(60分钟100分)一、选择题(每小题5分，共40分)1.已知等比数列{an}满足a1=3，a2a3a4=54，则a3a4a8=()A.162B.±162C.108D.±108【解析】选C.设等比数列{an}的公比为q，因为a1=3，a2a3a4=54，所以33q6=54，可得q6=2.则a3a4a8=54q6=108.2.已知等比数列{an}中，a1+a6=33，a2a5=32，且公比q>1，则a2+a7=()A.129B.128C.66D.36【解析】选C.由a1+a6=33，，a2a5=32=a1a6，得a1=1，a6=32，则a2+a7=66.3.已知等比数列{an}中，a3=2，a4a6=16，则=()A.2B.4C.8D.16【解题导引】设等比数列{an}的公比为q，由于a3=2，a4a6=16，可得a1q2=2，q8=16，解得q2.可得=q4.【解析】选B.设等比数列{an}的公比为q，因为a3=2，a4a6=16，所以a1q2=2，q8=16，解得q2=2.则==q4=4.4.(2017·新余二模)《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何.”其意思为“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列.问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位).这个问题中，甲所得为()A.钱B.钱C.钱D.钱【解析】选B.依题意设甲、乙、丙、丁、戊所得分别为a-2d，a-d，a，a+d，a+2d，则由题意可知，a-2d+a-d=a+a+d+a+2d，即a=-6d，又a-2d+a-d+a+a+d+a+2d=5a=5，所以a=1，则a-2d=a-2×=a=.5.已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=Sn+1(n∈N*)，则S5=()A.31B.42C.37D.47【解题导引】an+1=Sn+1(n∈N*)，可得Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*)，变形为：Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*)，利用等比数列的通项公式即可得出.【解析】选D.因为an+1=Sn+1(n∈N*)，所以Sn+1-Sn=Sn+1(n∈N*)，变形为：Sn+1+1=2(Sn+1)(n∈N*)，所以数列{Sn+1}为等比数列，首项为3，公比为2.则S5+1=3×24，解得S5=47.6.若数列{an}满足a1=1，且对于任意的n∈N*都有an+1=an+n+1，则++…++等于()A.B.C.D.【解析】选C.由an+1=an+n+1得，an+1-an=n+1，则a2-a1=1+1，a3-a2=2+1，a4-a3=3+1，…，an-an-1=(n-1)+1，以上等式相加，得an-a1=1+2+3+…+(n-1)+n-1，把a1=1代入上式得，an=1+2+3+…+(n-1)+n=，==2，则++…++=2[++…++]=2=.7.已知数列{an}前n项和满足Sn-Sn-1=+(n≥2)，a1=1，则an=()A.nB.2n-1C.n2D.2n2-1【解题导引】利用平方差公式对已知数列的递推式化简整理，求得-=1，根据等差数列的定义判断出数列{}是一个首项为1，公差为1的等差数列.求得数列{}的通项公式，再由an=Sn-Sn-1求得an.【解析】选B.由Sn-Sn-1=+，得(+)(-)=+，所以-=1，所以数列{}是一个首项为1，公差为1的等差数列.所以=1+(n-1)×1=n，所以Sn=n2.当n≥2，an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1.a1=1适合上式，∴an=2n-1.8.已知Tn为数列的前n项和，若n>T10+1013恒成立，则整数n的最小值为()A.1026B.1025C.1024D.1023【解题导引】利用等比数列的求和公式可得Tn，即可求解.【解析】选C.因为=1+，所以Tn=n+1-，所以T10+1013=11-+1013=1024-，又n>T10+1013恒成立，所以整数n的最小值为1024.【加固训练】1.已知数列{an}中，前n项和为Sn，且Sn=an，则的最大值为()A.-3B.-1C.3D.1【解题导引】利用递推关系可得==1+，再利用数列的单调性即可得出.【解析】选C.因为Sn=an，所以n≥2时，an=Sn-Sn-1=an-an-1，化为：==1+，由数列单调递减，可得：n=2时，取得最大值2.所以的最大值为3.2.已知a>0，b>0，且为3a与3b的等比中项，则的最大值为()A.B.C.D.【解题导引】由等比中项推导出a+b=1，从而===，由此利用基本不等式能求出的最大值.【解析】选B.因为a>0，b>0，且为3a与3b的等比中项，所以3a·3b=3a+b=()2=3，所以a+b=1，所以===≤=.当且仅当=时，取等号，所以的最大值为.二、填空题(每小题5分，共20分)9.已知等比数列{an}的各项均为正数，且满足：a1a7=4，则数列{log2an}的前7项之和为__________.【解题导引】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，再利用指数与对数的运算性质即可求解.【解析】由等比数列的性质可得：a1a7=a2a6=a3a5=4，所以数列{log2an}的前7项和为log2a1+log2a2+…+log2a7=log2(a1a2…a7)=log227=7.答案：7【加固训练】若数列{an}满足a1=2，an=1-...
