第2课时指数函数的性质与图像的应用[A基础达标]1．下列判断正确的是()A．2.52.5＞2.53B．0.82＜0.83C．π2＜πD．0.90.3＞0.90.5解析：选D.因为y＝0.9x是减函数，且0.5＞0.3，所以0.90.3＞0.90.5.2．若函数f(x)＝(1－2a)x在实数集R上是减函数，则实数a的取值范围是()A.B.C.D.解析：选B.由已知，得0＜1－2a＜1，解得0＜a＜，即实数a的取值范围是.3．若＜，则实数a的取值范围是()A．(1，＋∞)B.C．(－∞，1)D.解析：选B.因为函数y＝在R上为减函数，所以2a＋1＞3－2a，所以a＞.4．设函数f(x)＝a－|x|(a＞0，且a≠1)，若f(2)＝4，则()A．f(－2)＞f(－1)B．f(－1)＞f(－2)C．f(1)＞f(2)D．f(－2)＞f(2)解析：选A.f(2)＝a－2＝4，a＝，f(x)＝＝2|x|，所以f(－2)＞f(－1)．5．函数y＝的单调递增区间为()A．(－∞，＋∞)B．(0，＋∞)C．(1，＋∞)D．(0，1)解析：选A.函数的定义域为R.设u＝1－x，y＝，因为u＝1－x在R上为减函数，y＝在(－∞，＋∞)上为减函数，所以y＝在(－∞，＋∞)上是增函数，故选A.6．若－1＜x＜0，a＝2－x，b＝2x，c＝0.2x，则a，b，c的大小关系是________．解析：因为－1＜x＜0，所以由指数函数的图像和性质可得：2x＜1，2－x＞1，0.2x＞1，又因为0.5x＜0.2x，所以b＜a＜c.答案：b＜a＜c7．满足方程4x＋2x－2＝0的x值为________．解析：设t＝2x(t＞0)，则原方程化为t2＋t－2＝0，所以t＝1或t＝－2.因为t＞0，所以t＝－2舍去．所以t＝1，即2x＝1，所以x＝0.答案：08．函数y＝3x2－2x的值域为________．解析：设u＝x2－2x，则y＝3u，u＝x2－2x＝(x－1)2－1≥－1，所以y＝3u≥3－1＝，所以函数y＝3x2－2x的值域是.答案：9．已知指数函数f(x)的图像过点P(3，8)，且函数g(x)的图像与f(x)的图像关于y轴对称，又g(2x－1)＜g(3x)，求x的取值范围．解：设f(x)＝ax(a＞0且a≠1)，因为f(3)＝8，所以a3＝8，即a＝2，又因为g(x)与f(x)的图像关于y轴对称，所以g(x)＝，因此g(2x－1)＜g(3x)，即＜，所以2x－1＞3x，解得x＜－1.10．如果函数y＝a2x＋2ax－1(a＞0且a≠1)在[－1，1]上的最大值为14，求a的值．解：函数y＝a2x＋2ax－1＝(ax＋1)2－2，x∈[－1，1]．若a＞1，则x＝1时，函数取最大值a2＋2a－1＝14，解得a＝3.若0＜a＜1，则x＝－1时，函数取最大值a－2＋2a－1－1＝14，解得a＝.综上所述，a＝3或.[B能力提升]11．已知函数f(x)＝a－x(a＞0，且a≠1)，且f(－2)＞f(－3)，则a的取值范围是()A．a＞0B．a＞1C．a＜1D．0＜a＜1解析：选D.因为－2＞－3，f(－2)＞f(－3)，又f(x)＝a－x＝，所以＞，所以＞1，所以0＜a＜1.12．已知函数f(x)＝a2－x(a＞0且a≠1)，当x＞2时，f(x)＞1，则f(x)在R上()A．是增函数B．是减函数C．当x＞2时是增函数，当x＜2时是减函数D．当x＞2时是减函数，当x＜2时是增函数解析：选A.令2－x＝t，则t＝2－x是减函数，因为当x＞2时，f(x)＞1，所以当t＜0时，at＞1.所以0＜a＜1，所以f(x)在R上是增函数，故选A.13．(2019·河南省洛阳市期中)已知函数f(x)＝1＋a·＋.(1)当a＝－2，x∈[1，2]时，求函数f(x)的最大值与最小值；(2)若函数f(x)在[1，＋∞)上恒有－2≤f(x)≤3，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝1－2×＋＝－2×＋1＝.令m＝，则y＝＝(m－1)2.由x∈[1，2]，得m∈，所以当m＝时，y取得最大值，ymax＝，当m＝时，y取得最小值，ymin＝，则函数f(x)的最大值为，最小值为.(2)因为－2≤f(x)≤3⇔－2≤1＋a·＋≤3⇔－3－≤a·≤2－⇔－3·3x－≤a≤2·3x－，所以－3·3x－≤a≤2·3x－在[1，＋∞)上恒成立，所以≤a≤.设3x＝t，由x∈[1，＋∞)，得t≥3.设h(t)＝－3t－＝－(t≥3)，φ(t)＝2t－(t≥3)，容易证明h(t)在[3，＋∞)上单调递减，φ(t)在[3，＋∞)上单调递增，所以h(t)max＝h(3)＝－，φ(t)min＝φ(3)＝，所以－≤a≤，即实数a的取值范围是.[C拓展探究]14．设函数f(x)＝－.(1)证明：函数f(x)是奇函数；(2)证明：函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数；(3)求函数f(x)在[1，2]上的值域．解：(1)证明：函数f(x)的定义域为R，关于原点对称．f(－x)＝－＝－＝＝－＋＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．(2)证明：设x1，x2是(－∞，＋∞)内任意两实数，且x1＜x2，则f(x1)－f(x2)＝－－＋＝.因为x1＜x2，所以2x1－2x2＜0，所以f(x1)－f(x2)＜0，即f(x1)＜f(x2)，所以函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数．(3)因为函数f(x)在(－∞，＋∞)内是增函数，所以函数f(x)在[1，2]上也是增函数，所以f(x)min＝f(1)＝，f(x)max＝f(2)＝.所以函数f(x)在[1，2]上的值域为.
