课时提升练(六十七)数学归纳法及其应用一、选择题1．(2014·德州模拟)用数学归纳法证明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在验证n＝1时，左边计算所得的式子为()A．1B．1＋2C．1＋2＋22D．1＋2＋22＋23【解析】当n＝1时，左边＝1＋2＋22＋23.【答案】D2．用数学归纳法证明“(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1·2·…·(2n－1)(n∈N＋)”时，从“n＝k到n＝k＋1”时，左边应增添的式子是()A．2k＋1B．2k＋3C．2(2k＋1)D．2(2k＋3)【解析】当n＝k时，等式左端＝(k＋1)(k＋2)·…·(k＋k)当n＝k＋1时，等式左端＝(k＋2)(k＋3)·…·(k＋k)·(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1)故从“n＝k”到“n＝k＋1”时，左边应增添式子2(2k＋1)．【答案】C3．平面内有n条直线，最多可将平面分成f(n)个区域，则f(n)的表达式为()A．n＋1B．2nC.D．n2＋n＋1【解析】1条直线将平面分成1＋1个区域；2条直线最多可将平面分成1＋(1＋2)＝4个区域；3条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3)＝7个区域；……；n条直线最多可将平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝区域，选C.【答案】C4．(2014·浏阳模拟)用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立B．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋1命题成立C．假设n＝2k＋1(k∈N＋)，证明n＝k＋1命题成立D．假设n＝k(k是正奇数)，证明n＝k＋2命题成立【解析】相邻两个正奇数相差2，故D选项正确．【答案】D5．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时命题成立，那么可推得当n＝k＋1时该命题也成立，现已知n＝5时，该命题不成立，那么可以推得()A．n＝6时该命题不成立B．n＝6时该命题成立C．n＝4时该命题不成立D．n＝4时该命题成立【解析】结合命题间的关系可知，当n＝k＋1时命题不成立，则n＝k时命题也不成立．故选C.【答案】C6．(2014·安庆模拟)已知1＋2×3＋3×32＋4×33＋…＋n×3n－1＝3n(na－b)＋c对一切n∈N*都成立，则a、b、c的值为()A．a＝，b＝c＝B．a＝b＝c＝C．a＝0，b＝c＝D．不存在这样的a、b、c【解析】由于该等式对一切n∈N*都成立，不妨取n＝1,2,3，则有解得a＝，b＝c＝.【答案】A二、填空题7．用数学归纳法证明1＋＋＋…＋＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要证的不等式是________．【解析】∵n＞1且n∈N，∴当n＝2时，1＋＋＜2.【答案】1＋＋＜28．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．【解析】由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝.猜想an＝.【答案】an＝9．凸n多边形有f(n)条对角线．则凸(n＋1)边形的对角线的条数f(n＋1)与f(n)的递推关系式为________．【解析】f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1.【答案】f(n＋1)＝f(n)＋n－1三、解答题10．用数学归纳法证明：对一切大于1的自然数，不等式…＞均成立．【证明】①当n＝2时，左边＝1＋＝，右边＝.∵左边＞右边，∴不等式成立．②假设当n＝k(k≥2，且k∈N*)时不等式成立．即…＞.则当n＝k＋1时，…＞·＝＝＞＝＝.∴当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对于一切大于1的自然数n，不等式都成立．11．(2014·大连模拟)若不等式＋＋…＋＞对一切正整数n都成立，猜想正整数a的最大值，并证明结论．【解】当n＝1时，＋＋＞，即＞，所以a＜26，而a是正整数．所以取a＝25.下面用数学归纳法证明：＋＋…＋＞.①当n＝1时，已证：②假设当n＝k时，不等式成立，即＋＋…＋＞.则当n＝k＋1时，有＋＋…＋＝＋＋…＋＋＋＋－＞＋.因为＋＝＞所以＋－＞0.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．由①②知，对一切正整数n，都有＋＋…＋＞，所以a的最大值等于25.12．是否存在正整数m使得f(n)＝(2n＋7)·3n＋9对任意自然数n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由．【解】由f(n)＝(2n＋7)·3n＋9得，f(1)＝36，f(2)＝3×36，f(3)＝10×36，f(4)＝34×36，由此猜想：m＝36.下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，显然成立；②假设n＝k时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)·3k＋9能被36整除；当n＝k＋1时，[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝(2k＋7)·3k＋1＋27－27＋2·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由于3k－1－1是2的倍数，故18(3k－1－1)能被36整除，所以当n＝k＋1时，f(k＋1)也能被36整除．由①②可知对一切正整数n都有f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除，m的最大值为36.
