课时作业(三十六)第36讲基本不等式时间/30分钟分值/80分基础热身1.已知a,b∈(0,+∞),且a+b=1,则ab的最大值为()A.1B.14C.12D.√222.设x>0,y>0,且x+y=3,则2x+2y的最小值是()A.8B.6C.3√2D.4√23.已知a,b∈R,且ab≠0,则下列结论恒成立的是()A.a+b≥2√abB.ab+ba≥2C.|ab+ba|≥2D.a2+b2>2ab4.[2018·河南平顶山一模]若对于任意的x>0,不等式xx2+3x+1≤a恒成立,则实数a的取值范围为()A.15,+∞B.15,+∞C.-∞,15D.-∞,155.[2018·北京朝阳区二模]已知x>0,y>0,且满足x+y=4,则lgx+lgy的最大值为.能力提升6.已知向量a=(1,x2),b=(-2,y2-2),若a,b共线,则xy的最大值为()A.√22B.1C.√2D.2√27.[2018·广西南宁二中月考]已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则1x+13y的最小值是()A.4B.3C.2D.18.设a>0,b>2,且a+b=3,则2a+1b-2的最小值是()1A.6B.2√2C.4√2D.3+2√29.[2018·东北三省四市教研联合体模拟]在首项与公比相等的等比数列{an}中,aman2=a42(m,n∈N*),则2m+1n的最小值为()A.1B.32C.2D.92图K36-110.《几何原本》第二卷的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据,通过这一原理,很多代数的公理或定理都能够通过图形实现证明,也称之为无字证明.现有如图K36-1所示的图形,点F在半圆O上,点C在半径OB上,且OF⊥AB,设AC=a,BC=b,则该图形可以完成的无字证明为()A.a+b2≥√ab(a>0,b>0)B.a2+b2≥2ab(a>0,b>0)C.2aba+b≤√ab(a>0,b>0)D.a+b2≤√a2+b22(a>0,b>0)11.已知x>0,y>0,且2x·4y=4,则xy的最大值为.12.若a>b>0,则a2+14b(a-b)的最小值是.13.[2018·天津和平区二模]已知ab>0,a+b=3,则b2a+2+a2b+1的最小值为.214.[2018·河北保定一模]已知实数x,y满足{2x-y-2≥0,x+2y+2≥0,x-y≥0,若z=3x-2y取得最小值时的最优解(x,y)满足ax+by=2(ab>0),则a+4bab的最小值为.难点突破15.(5分)某工厂拟建一座平面图为矩形,且面积为400平方米的三级污水处理池,如图K36-2所示,池外圈造价为每米200元,中间两条隔墙造价为每米250元,池底造价为每平方米80元(池壁的厚度忽略不计,且池无盖).若使污水池的总造价最低,则污水池的长和宽分别为()图K36-2A.40米,10米B.20米,20米C.30米,403米D.50米,8米16.(5分)[2018·天津重点中学联考]已知a,b∈R,且a是2-b与-3b的等差中项,则4ab2∨a|+|b|的最大值为.3课时作业(三十六)1.B[解析]因为a,b∈(0,+∞),所以1=a+b≥2√ab,所以ab≤14,当且仅当a=b=12时等号成立.2.D[解析]因为x>0,y>0,且x+y=3,所以2x+2y≥2√2x·2y=2√2x+y=2√23=4√2,当且仅当x=y=32时,2x+2y取得最小值4√2.3.C[解析]因为ab和ba同号,所以|ab+ba|=|ab|+|ba|≥2,当且仅当|a|=|b|时等号成立.4.A[解析]由x>0,得xx2+3x+1=1x+1x+3≤12√x·1x+3=15,当且仅当x=1时等号成立,则a≥15.5.2lg2[解析]因为x+y=4,x>0,y>0,所以xy≤x+y22=4,当且仅当x=y=2时等号成立,因此lgx+lgy=lgxy≤lg4=2lg2.6.A[解析]依题意得2x2+y2=2,因此2=2x2+y2≥±2√2xy,从而-√22≤xy≤√22,故选A.7.A[解析]因为x>0,y>0,且lg2x+lg8y=lg2x+3y=lg2,所以x+3y=1,则1x+13y=x+3yx+x+3y3y=2+3yx+x3y≥2+2√3yx·x3y=4当且仅当3yx=x3y,即x=3y=12时取等号.故选A.8.D[解析] a>0,b>2,且a+b=3,∴a+b-2=1,∴2a+1b-2=(2a+1b-2)(a+b-2)=2+1+2¿¿+ab-2≥3+2√2,当且仅当a=√2(b-2),即b=1+√2,a=2-√2时取等号,则2a+1b-2的最小值是3+2√2,故选D.49.A[解析]设等比数列{an}的公比为q,由题意可得a1=q, aman2=a42,∴a1·qm-1·(a1·qn-1)2=(a1·q3)2,即qm·q2n=q8,因此m+2n=8.∴2m+1n=(m+2n)2m+1n×18=2+mn+4nm+2×18≥(4+4)×18=1,当且仅当m=2n=4时取等号,故选A.10.D[解析]由图可知OF=12AB=a+b2,OC=a-b2.在Rt△OCF中,由勾股定理可得CF=√(a+b2)2+(a-b2)2=√a2+b22. CF≥OF,∴√a2+b22≥a+b2(a>0,b>0).故选D.11.12[解析] x>0,y>0,且2x·4y=4,∴2x·4y=2x+2y=22,∴x+2y=2,∴xy=12x·2y≤12x+2y22=12,当且仅当x=1,y=12时取等号,∴xy的最大值为12.12.2[解析] a>b>0,∴a2+14b(a-b)≥a2+1(b+a-b)2=a2+1a2≥2√a2·1a2=2,当且仅当a=1,b=12时取等号,故所求最小值为2.13.32[解析] ab>0,a+b=3,∴a+2+b+1=6.则b2a+2+a2b+1=16[(a+2)+(b+1)]b2a+2+a2b+1=16a2+b2+b2(b+...
