第2讲点、直线、平面之间的位置关系(限时:45分钟)【选题明细表】知识点、方法题号空间线、面位置关系的判断1,2,3,5,7空间角4,6线面平行、垂直的证明8,9,10折叠与探索性问题9,10一、选择题1.已知四面体ABCD中,E,F,G,H分别是棱AB,BC,DA,CD上的点,且AE=EB,BF=FC,CH=2HD,AG=2GD,则下列说法错误的是(B)(A)AC∥平面EFH(B)BD∥平面EFG(C)直线GE,FH,BD相交于一点(D)EF∥GH解析:利用直线与平面平行的判定定理可得选项A正确,由题意可知,EF与GH平行但不相等,所以四边形EFHG是梯形,选项D正确,易知选项C正确,故选B.2.(2018·揭阳二模)设m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,下列选项正确的是(A)(A)若m⊥α,n⊥β,且α⊥β,则m⊥n(B)若m∥α,n∥β,且α∥β,则n∥m(C)若m⊥α,nβ,⊂且m⊥n,则α⊥β(D)若mα,nβ,⊂⊂且m∥β,n∥α,则α∥β解析:A正确;对于选项B,直线m和n可能平行,也可能相交,也可能异面,所以选项B错误;对于选项C,α和β也可能平行,C不正确;对于选项D,α和β可能不平行,是相交的关系.故选A.3.(2017·全国Ⅲ卷)在正方体ABCDA1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则(C)(A)A1E⊥DC1(B)A1E⊥BD(C)A1E⊥BC1(D)A1E⊥AC解析:如图,由题意可知A1E⊂平面A1B1CD,可以证明BC1⊥平面A1B1CD,所以A1E⊥BC1,故选C.4.(2018·长沙市名校实验班上学期第二次阶段性测试)已知四边形ABCD为边长等于的正方形,PA⊥平面ABCD,QC∥PA,且异面直线QD与PA所成的角为30°,则四棱锥QABCD外接球的表面积等于(B)(A)π(B)25π(C)π(D)π解析:因为PA⊥平面ABCD,QC∥PA,所以QC⊥平面ABCD,且异面直线QD与PA所成的角即∠DQC,所以∠DQC=30°,又CD=,所以QC=.由于CB,CQ,CD两两垂直,所以四棱锥QABCD的外接球的直径就是以CB,CQ,CD为棱的长方体的体对角线,设四棱锥QABCD外接球的半径为R,则R=,所以外接球的表面积为4π·（）2=25π.故选B.5.(2018·温州模拟)如图,四棱柱ABCDA1B1C1D1中,E,F分别是AB1,BC1的中点.下列结论中,正确的是(B)(A)EF⊥BB1(B)EF∥平面ACC1A1(C)EF⊥BD(D)EF⊥平面BCC1B1解析:取BB1的中点M,连接ME,MF,延长ME交AA1于P,延长MF交CC1于Q,因为E,F分别是AB1,BC1的中点,所以P是AA1的中点,Q是CC1的中点,从而可得E是MP的中点,F是MQ的中点,所以EF∥PQ,又PQ⊂平面ACC1A1,EF⊄平面ACC1A1,所以EF∥平面ACC1A1,故选B.二、填空题6.如图所示,在底面为正方形的四棱锥PABCD中,PA=PB=PC=PD=AB=2,点E为棱PA的中点,则异面直线BE与PD所成角的余弦值为.解析:取AD的中点F,连接EF,BF,则EF∥PD,所以∠BEF就是异面直线BE与PD所成的角或补角.在三角形BEF中,BF=,EF=1,BE=,由余弦定理得cos∠BEF=-,所以BE与PD所成角的余弦值为.答案:7.(2018·泉州模拟)如图,一张A4纸的长宽之比为,E,F分别为AD,BC的中点.现分别将△ABE,△CDF沿BE,DF折起,且A,C在平面BFDE同侧,下列命题正确的是.(写出所有正确命题的序号)①A,G,H,C四点共面;②当平面ABE∥平面CDF时,AC∥平面BFDE;③当A,C重合于点P时,平面PDE⊥平面PBF;④当A,C重合于点P时,设平面PBE∩平面PDF=l,则l∥平面BFDE.解析:①在△ABE中,tan∠ABE=,在△ACD中,tan∠CAD=,所以∠ABE=∠DAC,所以AC⊥BE,同理AC⊥DF,则折叠后,BE⊥平面AGH,DF⊥平面CHG,又DF∥BE,平面AGH与平面CHG有公共点,则平面AGH与平面CHG重合,即A,C,G,H四点共面;②由①可知,平面ABE∩平面AGHC=AG,平面CDF∩平面AGHC=CH,当平面ABE∥平面CDF时,得到AG∥CH,显然AG=CH,所以四边形AGHC是平行四边形,所以AC∥GH,又AC⊄平面BFDE,GH⊂平面BFDE,所以AC∥平面BFDE;③设PE=DE=1,则PD=,所以PE⊥DE,则PE⊥BF,又PE⊥PB,BF∩PB=B,所以PE⊥平面PBF,则平面PDE⊥平面PBF;④由BE∥DF,BE⊂平面PBE,DF⊄平面PBE,所以DF∥平面PBE,平面PDF∩平面PBE=l,则l∥DF,l⊄平面BEDF,l∥平面BEDF.答案:①②③④三、解答题8.如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,已知D,E分别为BC,B1C1的中点,点F在棱CC1上,且EF⊥C1D.求证:(1)直线A1E∥平面ADC1;(2)直线EF⊥平面ADC1.证明:(1)连接ED,因为D,E分别为BC,B1C1的中点,所以B1E∥BD且B1E=BD,所以四边形B1BDE是平行四边形,所以BB1∥DE且BB1=DE,又BB1∥AA1且BB1=AA1,所以AA1∥DE且AA1=DE,所以四边形AA1ED是平行四边形,所以A1E∥AD,又因为A1E⊄平面ADC...
