第3讲数学归纳法及其应用基础巩固题组(建议用时：40分钟)一、填空题1．已知f(n)＝＋＋＋…＋，给出以下说法：①f(n)中共有n项，当n＝2时，f(2)＝＋；②f(n)中共有n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋；③f(n)中共有n2－n项，当n＝2时，f(2)＝＋；④f(n)中共有n2－n＋1项，当n＝2时，f(2)＝＋＋.则上述说法正确的序号是________．答案④2．数列{an}中，已知a1＝1，当n≥2时，an－an－1＝2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．解析计算出a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16.可猜an＝n2.答案an＝n23．用数学归纳法证明不等式＋＋…＋>(n>2)的过程中，由n＝k到n＝k＋1时，不等式的左边________(填序号)．①增加了一项：；②增加了两项：，；③增加了两项：，，又减少了一项：；④增加了一项：，又减少了一项：.解析当n＝k时，左边＝＋＋…＋，n＝k＋1时，左边＝＋＋…＋＋＋.答案③4．在数列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通过求a2，a3，a4，猜想an的表达式为________．解析当n＝2时，＋a2＝(2×3)a2，∴a2＝.当n＝3时，＋＋a3＝(3×5)a3，∴a3＝.故猜想an＝.答案an＝5．某个命题与正整数有关，如果当n＝k(k∈N*)时该命题成立，那么可以推出n＝k＋1时该命题也成立．给出以下说法：①n＝4时该命题成立；②n＝4时该命题不成立；③n≥5，n∈N*时该命题都成立；④可能n取某个大于5的整数时该命题不成立．现已知n＝5时该命题成立，那么上述说法正确的序号是________．解析显然①，②错误，由数学归纳法原理知③正确，④错．答案③6．用数学归纳法证明：“1＋＋＋…＋1)”时，由n＝k(k>1)不等式成立，推理n＝k＋1时，左边应增加的项数是________．解析当n＝k时，要证的式子为1＋＋＋…＋2，f(8)>，f(16)>3，f(32)>，则其一般结论为________．解析因为f(22)>，f(23)>，f(24)>，f(25)>，所以当n≥2时，有f(2n)>.故填f(2n)>(n≥2，n∈N*)．答案f(2n)>(n≥2，n∈N*)二、解答题9．(2014·陕西卷改编)设函数f(x)＝ln(1＋x)，g(x)＝xf′(x)，x≥0，其中f′(x)是f(x)的导函数．令g1(x)＝g(x)，gn＋1(x)＝g(gn(x))，n∈N＋，求gn(x)的表达式．解由题设得，g(x)＝(x≥0)．由已知得，g1(x)＝，g2(x)＝g(g1(x))＝＝，g3(x)＝，…，可得gn(x)＝.下面用数学归纳法证明．①当n＝1时，g1(x)＝，结论成立．②假设n＝k(k≥2且k∈N*)时结论成立，即gk(x)＝.那么，当n＝k＋1时，gk＋1(x)＝g(gk(x))＝＝＝，即结论成立．由①②可知，结论对n∈N＋成立．10．(2015·徐州模拟)已知数列{an}的各项均为正整数，且a1＝1，a2＝4，an＝，n≥2，n∈N*(1)求a3，a4的值；(2)求证：对一切正整数n,2anan＋1＋1是完全平方数．(1)解由a2＝得a3＝15，由a3＝得a4＝56.(2)证明2a1a2＋1＝9＝(a2－a1)2，2a2a3＋1＝121＝(a3－a2)2，2a3a4＋1＝1681＝(a4－a3)2，猜想：2anan＋1＋1＝(an＋1－an)2.下面用数学归纳法证明．①当n＝1,2时，已证；②假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时，2akak＋1＋1＝(ak＋1－ak)2成立，那么，当n＝k＋1时，由ak＋1＝知，a－1＝akak＋2，即ak＋2＝，又由2akak＋1＋1＝(ak＋1－ak)2知，a－1＝4akak＋1－a，所以ak＋2＝＝4ak＋1－ak，所以a＝4ak＋1ak＋2－akak＋2＝4ak＋1ak＋2－a＋1，所以(ak＋2－ak＋1)2＝2ak＋1ak＋2＋1，即当n＝k＋1时，命题也成立．综上可得，对一切正整数n,2anan＋1＋1是完全平方数．能力提升题组(建议用时：25分钟)1．用数学归纳法证明2n>2n＋1，n的第一个取值应是________．解析 n＝1时，21＝2,2×1＋1＝3,2n>2n＋1不成立；2n＝2时，22＝4,2×2＋1＝5,2n>2n＋1不...
