专题强化训练(三)指数运算与指数函数(建议用时：40分钟)一、选择题1．若a<，则化简的结果是()A．B．－C．D．－C[∵a<，∴2a－1<0，于是，原式＝＝.]2．若函数f(x)＝·ax是指数函数，则f的值为()A．2B．－2C．－2D．2D[∵函数f(x)是指数函数，∴a－3＝1，∴a＝8.∴f(x)＝8x，f＝8＝＝2.]3．函数y＝ax＋1(a＞0且a≠1)的图象必经过点()A．(0，1)B．(1，0)C．(2，1)D．(0，2)D[因为a0＝1，所以，当x＝0时，y＝1＋1＝2.]4．已知函数f(x)＝3x－，则f(x)()A．是奇函数，且在R上是增函数B．是偶函数，且在R上是增函数C．是奇函数，且在R上是减函数D．是偶函数，且在R上是减函数A[∵函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝3－x－＝－3x＝－f(x)，∴函数f(x)是奇函数．∵函数y＝在R上是减函数，∴函数y＝－在R上是增函数．又∵y＝3x在R上是增函数，∴函数f(x)＝3x－在R上是增函数．故选A.]5．函数f(x)＝()的单调递减区间为()A．(－∞，＋∞)B．[－3，3]C．(－∞，3]D．[3，＋∞)D[令u＝x2－6x＋5＝－4，则u的单调递增区间为，又y＝是减函数，所以函数f(x)＝()的单调递减区间为[3，＋∞)]二、填空题6．方程3x－1＝的解为________．－1[∵3x－1＝＝3－2，∴x－1＝－2，∴x＝－1.]7．我国的人口约13亿，如果今后能将人口数年平均增长率控制在1%，那么经过x年后我国人口数为y亿，则y与x的关系式为_____________．y＝13×(1＋1%)x，x∈N*[经过1年后人口数为13×(1＋1%)＝13(1＋1%)；经过2年后人口数为13×(1＋1%)2；…经过x年后人口数为13×(1＋1%)x.故y＝13×(1＋1%)x，x∈N*.]8．若函数f(x)＝2|x－a|(a∈R)满足f(1＋x)＝f(1－x)，且f(x)在[m，＋∞)上单调递增，则实数m的最小值为________．1[∵f(1＋x)＝f(1－x)，∴y＝f(x)关于直线x＝1对称，∴a＝1.∴f(x)＝2|x－1|在[1，＋∞)上单调递增．∴[m，＋∞)⊆[1，＋∞).∴m≥1，即m的最小值为1.]三、解答题9．求下列函数的值域：(1)y＝；(2)y＝4x＋2x＋1[解](1)观察易知≠0,则有y＝≠＝1.∴原函数的值域为{y|y>0，且y≠1}．(2)y＝4x＋2x＋1＝(2x)2＋2x＋1.令t＝2x，易知t>0.则y＝t2＋t＋1＝＋.结合二次函数的图象，由其对称轴观察得到y＝＋在t>0上为增函数，所以y＝＋>＋＝1.∴原函数的值域为{y|y>1}．10．已知函数f(x)＝，(1)证明：函数f(x)是R上的增函数；(2)求函数f(x)的值域；(3)令g(x)＝，判定函数g(x)的奇偶性，并证明．[解](1)设x1，x2是R内任意两个值，且x10，y2－y1＝f(x2)－f(x1)＝－＝＝，当x10.又2x1＋1>0，2x2＋1>0，∴y2－y1>0，∴f(x)是R上的增函数．(2)f(x)＝＝1－，∵2x＋1>1，∴0<<2，即－2<－<0，∴－1<1－<1.∴f(x)的值域为(－1，1).(3)由题意知g(x)＝＝·x，易知函数g(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，g(－x)＝(－x)·＝(－x)·＝x·＝g(x)，∴函数g(x)为偶函数．11．给出五个函数：①y＝2×6x；②y＝(－6)x；③y＝πx；④y＝xx；⑤y＝22x＋1.以上函数中指数函数的个数是()A．1B．2C．3D．4A[对于①，系数不是1；对于②，底数小于0；对于④，底数x不是常数；对于⑤，指数是x的一次函数，故①、②、④、⑤都不是指数函数．正确的是③，只有③符合指数函数的定义．]12．函数y＝的定义域是()A．(－∞，0)B．(－∞，0]C．(0，＋∞)D．[0，＋∞)B[由题意得1－2x≥0，即2x≤1，所以x≤0.]13．设y1＝40.9，y2＝80.48，y3＝()－1.5，则()A．y3>y1>y2B．y2>y1>y3C．y1>y3>y2D．y1>y2>y3C[从形式上看，三个幂式的底数和指数各不相同，但根据指数的运算性质可得，y1＝40.9＝(22)0.9＝21.8，y2＝80.48＝(23)0.48＝21.44，y3＝()－1.5＝(2－1)－1.5＝21.5.因为指数函数y＝2x(x∈R)是增函数，所以21.8>21.5>21.44，即y1>y3>y2.]14．若函数y＝2x＋1，y＝b，y＝－2x－1的图象两两无公共点，结合图象则b的取值范围为________．[－1，1][如图．当－1≤b≤1时，此三函数的图象无公共点．]15．若函数y＝为奇函数．(1)确定a的值；(2)求函数的定义域与值域；(3)讨论函数的单调性．[解]先将函数y＝化简为y＝a－.(1)由奇函数的定义，可得f(－x)＋f(x)＝0，即a－＋a－＝0，∴2a＋＝0.∴a＝－.(2)∵y＝－－，∴2x－1≠0.∴函数y＝－－的定义域为{x|x≠0}．∵x≠0，∴2x－1>－1.又∵2x－1≠0，∴0>2x－1>－1或2x－1>0.∴－－>或－－<－，即函数的值域为.(3)当x>0时，设00，2x2－1>0，∴y1＜y2.因此y＝－－在(0，＋∞)上是单调递增的．由于y＝f(x)是奇函数，从而y＝－－在(－∞，0)上也是单调递增的．
