第四讲化归与转化思想化归与转化的思想在2016年高考中必然考到，较大的可能是出现在立体几何的大题中，可将空间立体几何的问题转化为平面几何问题，若出现在解析几何大题中，应将解析几何大题中求范围问题的题转化为求函数值域范围问题，总之将复杂问题转化为简单问题是高考中解决问题的重要思想方法．解决数学问题时，常遇到一些直接求解较为困难的问题，通过观察、分析、类比、联想等思维过程，选择运用恰当的数学方法进行变换，将原问题转化为一个新问题(相对来说，是自己较熟悉的问题)，通过新问题的求解，达到解决原问题的目的，这一思想方法我们称之为“化归与转化的思想方法”．化归与转化的思想方法应用的主要方向化归与转化思想的实质是揭示联系，实现转化．除极简单的数学问题外，每个数学问题的解决都是通过转化为已知的问题实现的．从这个意义上讲，解决数学问题就是从未知向已知转化的过程．化归与转化思想是解决数学问题的根本思想，解题的过程实际上就是一步步转化的过程．数学中的转化比比皆是，如未知向已知的转化、复杂问题向简单问题的转化、新知识向旧知识的转化、命题之间的转化、数与形的转化、空间向平面的转化、高维向低维的转化、多元向一元的转化、高次向低次的转化、超越式向代数式的转化、函数与方程的转化等，都是转化思想的体现．转化有等价转化和非等价转化之分．等价转化前后是充要条件，所以尽可能使转化具有等价性；在不得已的情况下，进行不等价转化，应附加限制条件，以保持等价性，或对所得结论进行必要的验证．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．(1)函数y＝x＋的最小值是2.(×)(2)ab≤成立的条件是ab>0.(×)(3)函数f(x)＝cosx＋，x∈的最小值等于4.(×)(4)目标函数z＝ax＋by(b≠0)中，z的几何意义是直线ax＋by－z＝0在y轴上的截距．(×)1．若动直线x＝a与函数f(x)＝sinx和g(x)＝cosx的图象分别交于M，N两点，则|MN|的最大值为(B)A．1B.C.D．2解析：|MN|＝|sinx－cosx|＝，最大值为.2．下图所示的韦恩图中，A，B是非空集合，定义集合A#B为阴影部分表示的集合．若x，y∈R，A＝{x|y＝}，B＝{y|y＝3x(x＞0)}，则A#B为(D)A．{x|0＜x＜2}B．{x|1＜x≤2}C．{x|0≤x≤1或x≥2}D．{x|0≤x≤1或x＞2}解析：A＝＝{x|2x－x2≥0}＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＝3x(x＞0)}＝{y|y＞1}，则A∪B＝{x|x≥0}，A∩B＝x≤2}．根据新运算，得A#B＝∁A∪B(A∩B)＝{x|0≤x≤1或x＞2}．3．定义一种运算a⊗b＝令f(x)＝(cos2x＋sinx)⊗，且x∈，则函数f的最大值是(A)A.B．1C．－1D．－解析：设y＝cos2x＋sinx＝－sin2x＋sinx＋1＝－2＋，∵x∈，∴0≤sinx≤1，∴1≤y≤，即1≤cos2x＋sinx≤.根据新定义的运算可知f(x)＝cos2x＋sinx，x∈，∴f＝－＋＝－＋，x∈.∴函数f的最大值是.4．若f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b的取值范围是(C)A．[－1，＋∞)B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1]D．(－∞，－1)解析：∵f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，∴f′(x)＝－x＋＜0在(－1，＋∞)上恒成立，即b＜x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立．设g(x)＝x(x＋2)＝(x＋1)2－1在(－1，＋∞)上单调递增，∴g(x)＞－1，∴当b≤－1时，b＜x(x＋2)在(－1，＋∞)上恒成立，即f(x)＝－x2＋bln(x＋2)在(－1，＋∞)上是减函数．
