专题探究6最值范围证明问题1.[2018·衡水中学月考]已知椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,离心率为√22,过y轴上一点M(0,m)作一条直线l:y=kx+m(m≠0),交椭圆于A,B两点,且△ABF1的周长的最大值为8.(1)求椭圆的方程;(2)以点N为圆心,半径为|ON|的圆的方程为x2+(y+m)2=m2,过线段AB的中点C作圆的切线CE,E为切点,证明:当|NC||NE|取最大值时,点M在短轴上(不包括短轴端点及原点).2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的两个顶点到直线l:y=x的距离分别为√62,√22.(1)求椭圆C的离心率;(2)过圆O:x2+y2=4上任意一点P作椭圆C的两条切线PM和PN,直线PM,PN分别与圆O交于点M,N,求△PMN的面积的最大值.3.[2018·荆州中学月考]已知抛物线C:y2=2px(p>0),且Q(q,0),M14,-1,N(n,4)三点中恰有两点在抛物线C上,另一点是抛物线C的焦点.(1)求证:Q,M,N三点共线;(2)若直线l过抛物线C的焦点且与抛物线C交于A,B两点,点A到x轴的距离为d1,点B到y轴的距离为d2,求d14+d22的最小值.4.[2018·临沂沂水一中月考]已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)经过点-2,53,且离心率为23,直线l过点(0,-1),M,N是椭圆C上关于直线l对称的两点.(1)求椭圆C的标准方程;(2)求直线l在x轴上的截距的取值范围.5.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>0,b>0)过A(2,0),B(0,1)两点.(1)求椭圆C的方程及离心率;(2)设P为第三象限内一点,且P在椭圆C上,直线PA与y轴交于点M,直线PB与x轴交于点N,求证:四边形ABNM的面积为定值.16.[2018·衡水中学月考]已知右焦点为F(c,0)的椭圆E:x2a2+y23=1(a>0)关于直线x=c对称的图形过坐标原点,A是椭圆E的左顶点,斜率为k(k>0)的直线交E于A,M两点,点N在椭圆E上,且MA⊥NA.(1)当|AM|=|AN|时,求△AMN的面积;(2)当2|AM|=|AN|时,证明:√30得m2<4k2+2.由根与系数的关系得x1+x2=-4km2k2+1,∴y1+y2=2m2k2+1,∴C-2km2k2+1,m2k2+1. 以点N为圆心,|ON|为半径的圆的方程为x2+(y+m)2=m2,∴N(0,-m),∴|NC|2=2km2k2+12+m+m2k2+12=4m2(1+3k2+k4)(2k2+1)2, |NE|=|m|,∴|NC|2|NE|2=4(1+3k2+k4)(2k2+1)2=1+8k2+3(2k2+1)2,令t=8k2+3(t≥3),∴2k2+1=t+14,∴|NC|2|NE|2=1+16t(1+t)2=1+16t+1t+2,令y=t+1t(t≥3),则y'=1-1t2>0,∴y=t+1t在[3,+∞)上单调递增,∴t+1t≥103,当且仅当t=3时等号成立,此时|NC||NE|取得最大值,且k=0,∴m2<4k2+2=2,∴-√20,设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1y2=-4,所以d14+d22=y14+x22=y14+y2416≥2√y14·y2416=2√(-4)416=8,当且仅当y14=y2416=4,即{y1=√2,y2=-2√2或{y1=-√2,y2=2√2时,等号...
