高考数学复习点拨 线面垂直互动解题VIP免费

线面垂直互动解题例1．如下图，过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC，且∠ASB=∠ASC=60°，∠BSC=90°，求证：平面ABC⊥平面BSC.剖析：本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线，故作辅助线.根据已知条件的特点，取BC的中点O，连结AO、SO，既可证明AO⊥平面BSC，又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，注意到∠AOS是二面角A—BC—S的平面角，转化为证明∠AOS是直角.证法一：取BC的中点O，连结AO、SO.∵AS=BS=CS，SO⊥BC，又∵∠ASB=∠ASC=60°，∴AB=AC，从而AO⊥BC.设AS=a，又∠BSC=90°，则SO=22a.又AO=22BOAB=2221aa=22a，∴AS2=AO2+SO2，故AO⊥OS.从而AO⊥平面BSC，又AO平面ABC，∴平面ABC⊥平面BSC.证法二：同证法一证得AO⊥BC，SO⊥BC，∴∠AOS就是二面角A—BC—S的平面角.再同证法一证得AO⊥OS，即∠AOS=90°.∴平面ABC⊥平面BSC.点评：本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外，本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊，即通过“算”，定量地证得直角，而不是通过位置关系定性地推理出直角，这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例2．如图，在三棱锥S—ABC中，SA⊥平面ABC，平面SAB⊥平面SBC.（1）求证：AB⊥BC；（2）若设二面角S—BC—A为45°，SA=BC，求二面角A—SC—B的大小.（1）证明：作AH⊥SB于H，∵平面SAB⊥平面SBC，∴AH⊥平面SBC.又SA⊥平面ABC，∴SA⊥BC.SA在平面SBC上的射影为SH，∴BC⊥SB.又SA∩SB=S，∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.（2）略点评：证明两个平面垂直的常见方法：（1）根据定义，证其二面角的平面角是直角；（2）根据判定定理，证明一个平面经过另一个平面的垂线.例3．已知PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过A点作AE⊥PC于点E，求证：AE⊥平面PBC.证明：∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径，∴BC⊥AC.而PC∩AC=C，∴BC⊥平面PAC.又∵AE在平面PAC内，∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC=C，∴AE⊥平面PBC.用心爱心专心