线面垂直互动解题例1.如下图,过S引三条长度相等但不共面的线段SA、SB、SC,且∠ASB=∠ASC=60°,∠BSC=90°,求证:平面ABC⊥平面BSC.剖析:本题是面面垂直的证明问题.一条是从定义出发的思路,即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线.但图中似乎没有现成的这样的直线,故作辅助线.根据已知条件的特点,取BC的中点O,连结AO、SO,既可证明AO⊥平面BSC,又可证明SO⊥平面ABC.另一条是从定义出发的思路,即证明两个平面所成的二面角是直二面角,注意到∠AOS是二面角A—BC—S的平面角,转化为证明∠AOS是直角.证法一:取BC的中点O,连结AO、SO.∵AS=BS=CS,SO⊥BC,又∵∠ASB=∠ASC=60°,∴AB=AC,从而AO⊥BC.设AS=a,又∠BSC=90°,则SO=22a.又AO=22BOAB=2221aa=22a,∴AS2=AO2+SO2,故AO⊥OS.从而AO⊥平面BSC,又AO平面ABC,∴平面ABC⊥平面BSC.证法二:同证法一证得AO⊥BC,SO⊥BC,∴∠AOS就是二面角A—BC—S的平面角.再同证法一证得AO⊥OS,即∠AOS=90°.∴平面ABC⊥平面BSC.点评:本题揭示的是证面面垂直常用的两种方法.此外,本题中证明∠AOS=90°的方法较为特殊,即通过“算”,定量地证得直角,而不是通过位置关系定性地推理出直角,这也是立体几何中证明垂直的一种重要方法.例2.如图,在三棱锥S—ABC中,SA⊥平面ABC,平面SAB⊥平面SBC.(1)求证:AB⊥BC;(2)若设二面角S—BC—A为45°,SA=BC,求二面角A—SC—B的大小.(1)证明:作AH⊥SB于H,∵平面SAB⊥平面SBC,∴AH⊥平面SBC.又SA⊥平面ABC,∴SA⊥BC.SA在平面SBC上的射影为SH,∴BC⊥SB.又SA∩SB=S,∴BC⊥平面SAB.∴BC⊥AB.(2)略点评:证明两个平面垂直的常见方法:(1)根据定义,证其二面角的平面角是直角;(2)根据判定定理,证明一个平面经过另一个平面的垂线.例3.已知PA⊥⊙O所在的平面,AB是⊙O的直径,C是⊙O上任意一点,过A点作AE⊥PC于点E,求证:AE⊥平面PBC.证明:∵PA⊥平面ABC,∴PA⊥BC.又∵AB是⊙O的直径,∴BC⊥AC.而PC∩AC=C,∴BC⊥平面PAC.又∵AE在平面PAC内,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE,且PC∩BC=C,∴AE⊥平面PBC.用心爱心专心