高考数学复习点拨 数学归纳法常见错误剖析VIP免费

数学归纳法常见错误剖析初学数学归纳法常出现下面的错误，剖析如下：1、不用假设致误例1用数学归纳法证明：122232)12).(1(612nnnn。错证：①当1n时，左边＝1，右边＝)112()11(161＝1，所以等式成立。②假设当nk时等式成立。即22221123(1)(21)6kkkk。那么当1kn时，222221123(1)(1)[(1)1][2(1)1]6kkkkk1(1)(2)(23)6kkk，也就是说当1kn时，等式成立。由①②知：对任何nN等式都成立。剖析：用数学归纳法证明第②步骤时，在从“k”到“"1k的过程中，必须把nk的命题作为已给定的条件，要在这个条件基础上去导出1kn时的命题所以在推导过程中。故必须把nk时的命题用上，本解法错因是对假设设而不用。正解：①当1n时，左边＝1，右边＝)112()11(161＝1，所以等式成立。②假设当nk时等式成立。即22221123(1)(21)6kkkk。那么当1kn时，22222)1(321kk＝2)1()12)(1(61kkkk(1)k)]!()12(61[kkk211(1)(276)(1)(2)(23)66kkkkkk1(1)[(1)1][2(1)1]6kkk。即当1kn时，等式成立。由①②知：对任何nN等式都成立。2、盲目套用数学归纳法中的两个步骤致误用心爱心专心例2当n为正奇数时，17n能否被8整除？若能用数学归纳法证明。若不能请举出反例。证明：⑴当n=1时，7＋1＝8能被8整除。命题成立。⑵假设当n=k时命题成立。即17k能被8整除。则当n=k+1时，6)17(7171kk不能8整除.由（1）（2）知n为正奇数。71n不能被8整除分析：错因;机械套用数学归纳法中的两个步骤，而忽略了n是整奇数的条件。证明前要看准已知条件。正解（2）n=k时命题成立，即71k能被8整除。当n=k+2时，22271)17(717kk＝49（748)1k因71k能被8整除。且48能被8整除。所以172k能被8整除。所以当n=k+2时命题成立。由⑴⑵知当n为正奇数时，71k能被8整除。三没有搞清从k到k+1的跨度例3：求证：11312111nnn错证：（1）当n＝1时，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即11312111kkk则当n=k+1时，1)1(3111)1(311313121kkkkk就是说当n=k+1时不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。点评：上述证明中，从k到k+1的跨度，只加了一项是错误的，分母是相临的自然数，故应是1)1(31)1(31231kkk，跨度是三项。正确证法：（1）当n＝1时，左边＝1121312346311211111，不等式成立。（2）假设n=k时命题成立，即11312111kkk，则当n=k+1时，1111112331323(1)3(1)1kkkkkk＝（1312111kkk）＋)1(31231kk＋113(1)11kk用心爱心专心>1＋222112666(1)[]132343(1)91883(1)kkkkkkkk=1＋19189)1(68189)1(622kkkkkk。这就是说，当1kn时，不等式成立。由⑴⑵知原不等式成立。用心爱心专心