大题规范练(四)(满分70分，押题冲刺，70分钟拿到主观题高分)解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．1．(本小题满分12分)△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积S满足S＝[c2－(a－b)2]．(1)求cosC；(2)若c＝4，且2sinAcosC＝sinB，求b的长．解：(1)由S＝[c2－(a－b)2]＝[－(a2＋b2－c2)＋2ab]＝－abcosC＋ab，又S＝absinC，于是absinC＝－abcosC＋ab，即sinC＝2(1－cosC)，结合sin2C＋cos2C＝1，可得5cos2C－8cosC＋3＝0，解得cosC＝或cosC＝1(舍去)，故cosC＝.(2)由2sinAcosC＝sinB结合正、余弦定理，可得2·a·＝b，即(a－c)(a＋c)＝0，解得a＝c，又c＝4，所以a＝4，由c2＝a2＋b2－2abcosC，得42＝42＋b2－2×4×b，解得b＝.2．(本小题满分12分)在三棱柱ABCA1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1＝A1C＝AC＝AB＝BC＝2，且点O为AC中点．(1)证明：A1O⊥平面ABC；(2)求三棱锥C1ABC的体积．解：(1)证明：因为AA1＝A1C，且O为AC中点，所以A1O⊥AC，又平面AA1C1C⊥平面ABC，平面AA1C1C∩平面ABC＝AC，且A1O⊂平面AA1C1C，∴A1O⊥平面ABC.(2) A1C1∥AC，A1C1⊄平面ABC，AC⊂平面ABC，∴A1C1∥平面ABC，即C1到平面ABC的距离等于A1到平面ABC的距离．由(1)知A1O⊥平面ABC且A1O＝＝，∴V＝V＝S△ABC·A1O＝××2××＝1.3．(本小题满分12分)某学校高一年级共有20个班，为参加全市钢琴比赛，调查了各班中会弹钢琴的人数，并以组距为5将数据分组成[0,5)，[5,10)，…，[30,35)，[35,40]，作出频率分布直方图如图所示．(1)由频率分布直方图估计各班中会弹钢琴的人数的平均值；(2)若会弹钢琴的人数为[35,40]的班级作为第一类备选班级，会弹钢琴的人数为[30,35)的班级作为第二类备选班级，现要从这两类备选班级中选出两个班参加市里的钢琴比赛，求这两类备选班级中均有班级被选中的概率．解：(1)设各班中会弹钢琴的人数的平均值为，由频率分布直方图知，＝2.5×0.01×5＋7.5×0.01×5＋12.5×0.04×5＋17.5×0.02×5＋22.5×0.04×5＋27.5×0.03×5＋32.5×0.03×5＋37.5×0.02×5＝22，所以各班中会弹钢琴的人数的平均值为22.(2)由频率分布直方图知，第一备选班级为2个，第二备选班级为3个，用ai(i＝1,2)表示第一备选班级，bj(j＝1,2,3)表示第二备选班级．则从两类备选班级中选出两个班参加比赛，有{a1，a2}，{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，{b1，b2}，{b1，b3}，{b2，b3}，共10种情况．其中第一备选班级和第二备选班级中均有班级被选中的情况有{a1，b1}，{a1，b2}，{a1，b3}，{a2，b1}，{a2，b2}，{a2，b3}，共6种情况．所以两类备选班级中均有班级被选中的概率为＝.4．(本小题满分12分)设椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的右焦点为F，右顶点为A，B，C是椭圆上关于原点对称的两点(B，C均不在x轴上)，线段AC的中点为D，且B，F，D三点共线．(1)求椭圆E的离心率；(2)设F(1,0)，过F的直线l交E于M，N两点，直线MA，NA分别与直线x＝9交于P，Q两点．证明：以PQ为直径的圆过点F.解：(1)解法一：由已知A(a,0)，F(c,0)，设B(x0，y0)，C(－x0，－y0)，则D， B，F，D三点共线，∴BF∥BD，又BF＝(c－x0，－y0)，BD＝，∴－y0(c－x0)＝－y0·，∴a＝3c，从而e＝.解法二：设直线BF交AC于点D，连接OD，由题意知，OD是△CAB的中位线，∴OD\s\do3(═)AB，∴AB∥OD，∴△OFD∽△AFB.∴＝，解得a＝3c，从而e＝.(2)证明： F的坐标为(1,0)，∴c＝1，从而a＝3，∴b2＝8.∴椭圆E的方程为＋＝1.设直线l的方程为x＝ny＋1，由⇒(8n2＋9)y2＋16ny－64＝0，∴y1＋y2＝，y1y2＝，其中M(ny1＋1，y1)，N(ny2＋1，y2)．∴直线AM的方程为＝，∴P，同理Q，从而FP·FQ＝·＝64＋＝64＋＝64＋＝0.∴FP⊥FQ，即以PQ为直径的圆恒过点F.5．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x2－x＋alnx(a＞0)．(1)若a＝1，求f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程；(2)讨论f(x)的单调性；(3)若f(x)存在两个极值点x1，x2，求证：f(x1)＋f(x2)＞.解：(1)a＝1时，f(x)＝x2－x＋lnx，f′(x)＝x－1＋，f′(1)＝1，f(1)＝－，∴y－＝x－1，即y＝x－.∴f(x)的图象在(1，f(1))处的切线方程为2x－2y－3＝0.(2)f′(x)＝x－1＋＝(a...
