第3课时1．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两焦点在x轴上，且短轴的两个顶点与其中一个焦点的连线构成斜边为2的等腰直角三角形．(1)求椭圆的方程；(2)动直线l：3mx＋3ny＋n＝0(m∈R，n∈R，m，n不全为零)交椭圆C于A，B两点，试问：在坐标平面上是否存在一个定点Q，使得以线段AB为直径的圆恒过点Q？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．2．如图Z52，已知椭圆C1：＋y2＝1的左、右顶点为A1，A2，上、下顶点为B1，B2，记四边形A1B1A2B2的内切圆为C2.(1)求圆C2的标准方程；(2)已知圆C2的一条不与坐标轴平行的切线l交椭圆C1于P，M两点．①求证：OP⊥OM；②试探究＋是否为定值．图Z523．如图Z53，抛物线C1：y2＝8x与双曲线C2：－＝1(a>0，b>0)有公共焦点F2，点A是曲线C1，C2在第一象限的交点，且|AF2|＝5.(1)求双曲线C2的方程；(2)以F1为圆心的圆M与双曲线的一条渐近线相切，圆N：(x－2)2＋y2＝1.已知点P(1，)，过点P作互相垂直且分别与圆M、圆N相交的直线l1和l2，设被圆M截得的弦长为s，l2被圆N截得的弦长为t.试探索是否为定值？请说明理由．图Z534．如图Z54，椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，MF2⊥x轴，直线MF1交y轴于H点，OH＝，Q为椭圆E上的动点，△F1F2Q的面积的最大值为1.(1)求椭圆E的方程；(2)过点S(4,0)作两条直线与椭圆E分别交于A，B，C，D，且使AD⊥x轴，如图，问四边形ABCD的两条对角线的交点是否为定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．图Z545．已知抛物线E的顶点为原点O，焦点为圆F：x2＋y2－4x＋3＝0的圆心F.经过点F的直线l交抛物线E于A，D两点，交圆F于B，C两点，A，B在第一象限，C，D在第四象限．(1)求抛物线E的方程；(2)是否存在直线l，使2|BC|是|AB|与|CD|的等差中项？若存在，求直线l的方程；若不存在，请说明理由．6．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的离心率e＝，且椭圆过点.(1)求椭圆C的标准方程；(2)已知点A为椭圆C的下顶点，D，E为椭圆C上与A不重合的两点，若直线AD与直线AE的斜率之和为a2，试判断是否存在定点G，使得直线DE恒过点G，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．第3课时1．解：(1) 椭圆的一个焦点与短轴的两个顶点的连线构成等腰直角三角形，∴b＝c.又斜边长为2，即2b＝2，故c＝b＝1，a＝，椭圆方程为＋y2＝1.(2)由题意可知该动直线过定点P.当l与x轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋2＝；当l与y轴平行时，以线段AB为直径的圆的方程为x2＋y2＝1.由得故若存在定点Q，则Q的坐标只可能为Q(0,1)．下面证明Q(0,1)为所求：若直线l的斜率不存在，上述已经证明．若直线l的斜率存在，设直线l：y＝kx－，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得(9＋18k2)x2－12kx－16＝0,Δ＝144k2＋64(9＋18k2)>0，x1＋x2＝，x1x2＝，QA＝(x1，y1－1)，QB＝(x2，y2－1)，QA·QB＝x1x2＋(y1－1)(y2－1)＝(1＋k2)x1x2－(x1＋x2)＋＝(1＋k2)·－·＋＝0,∴QA⊥QB，即以线段AB为直径的圆恒过点Q(0,1)．2．(1)解： A2，B1分别为椭圆C1：＋y2＝1的右顶点和上顶点，则A2，B1坐标分别为(2,0)，(0,1)，可得直线A2B1的方程为x＋2y＝2.∴原点O到直线A2B1的距离为d＝＝，∴圆C2的半径r＝d＝，故圆C2的标准方程为x2＋y2＝.(2)证明：①可设切线l：y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，M(x2，y2)，将直线PM方程代入椭圆C1可得x2＋2kbx＋b2－1＝0，由韦达定理得：∴y1y2＝(kx1＋b)(kx2＋b)＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝，又l与圆C2相切，可知原点O到l的距离d＝＝，整理可得k2＝b2－1，则y1y2＝，∴OP·OM＝x1x2＋y1y2＝0，故OP⊥OM.②由OP⊥OM知S△OPM＝|OP||OM|，ⅰ)当直线OP的斜率不存在时，显然|OP|＝1，|OM|＝2，此时＋＝；ⅱ)当直线OP的斜率存在时，设OP：y＝k1x代入椭圆方程可得＋kx2＝1，则x2＝，故|OP|2＝x2＋y2＝(1＋k)x2＝，同理|OM|2＝＝，则＋＝＋＝.综上可知：＋＝为定值．3．解：(1)抛物线C1：y2＝8x的焦点为F2(2,0)，∴双曲线C2的焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)．设A(x0，y0)在抛物线C1：y2＝8x上，且|AF2|＝5.由抛物线的定义得，x0＋2＝5，∴x0＝3.∴y＝8×3，∴y0＝±2.|AF1|＝＝7，又 点A在双曲线上，由双曲线定义，得2a＝|7－5|＝2，∴a＝1.∴双曲线的方程...
