课时提升练(七十四)证明不等式的基本方法一、选择题1．设t＝a＋2b，s＝a＋b2＋1，则s与t的大小关系是()A．s≥tB．s>tC．s≤tD．s2＝>，∴只需比较1＋x与的大小，∵1＋x－＝＝－<0，∴1＋x<.因此c＝最大．【答案】C6．(2012·湖北高考)设a，b，c，x，y，z是正数，且a2＋b2＋c2＝10，x2＋y2＋z2＝40，ax＋by＋cz＝20，则＝()A.B.C.D.【解析】由题意可得x2＋y2＋z2＝2ax＋2by＋2cz，①①与a2＋b2＋c2＝10相加可得(x－a)2＋(y－b)2＋(z－c)2＝10，所以不妨令.则x＋y＋z＝2(a＋b＋c)，即＝.【答案】C二、填空题7．(2014·南昌模拟)若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2＝4，则3a＋4b＋5c的最大值为________．【解析】由柯西不等式得(3a＋4b＋5c)2≤(a2＋b2＋c2)·(9＋16＋25)＝200，所以－10≤3a＋4b＋5c≤10，所以3a＋4b＋5c的最大值为10.【答案】108．以下三个命题：①若|a－b|＜1，则|a|＜|b|＋1；②若a，b∈R，则|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③若|x|＜2，|y|＞3，则＜，其中正确命题的序号是________．【解析】①|a|－|b|≤|a－b|＜1，所以|a|＜|b|＋1；②|a＋b|－|a－b|≤|(a＋b)＋(a－b)|＝|2a|，所以|a＋b|－2|a|≤|a－b|；③|x|＜2，|y|＞3，所以＜，因此＜.∴①②③均正确．【答案】①②③9．若x＞0，则函数f(x)＝3x＋的最小值为________．【解析】∵x＞0，∴f(x)＝3x＋＝x＋x＋≥3＝3，等号成立的条件为x＝∴x＝，∴x＝时，f(x)的最小值为3.【答案】3三、解答题10．(2014·贵州六校联盟)设a、b、c均为正实数，求证：＋＋≥＋＋≥＋＋.【证明】∵a，b，c均为正实数，∴＋≥≥当a＝b时等号成立＋≥≥当b＝c时等号成立＋≥≥当a＝c时等号成立三个不等式相加即得＋＋≥＋＋≥＋＋当且仅当a＝b＝c时等号成立即＋＋≥＋＋≥＋＋.11．(2014·辽宁高考)设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1.记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N.(1)求M；(2)当x∈M∩N时，证明：x2f(x)＋x[f(x)]2≤.【解】(1)f(x)＝当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1.所以f(x)≤1的解集为M＝{x|0≤x≤}．(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4得162≤4，解得－≤x≤.因此N＝，故M∩N＝.当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，于是x2f(x)＋x·[f(x)]2＝xf(x)[x＋f(x)]＝x·f(x)＝x(1－x)＝－2≤.12．(2014·东北三省联考)已知a，b，c∈R，a2＋b2＋c2＝1.(1)求证：|a＋b＋c|≤；(2)若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，求实数x的取值范围．【解】(1)由柯西不等式得，(a＋b＋c)2≤(12＋12＋12)·(a2＋b2＋c2)＝3，∴－≤a＋b＋c≤，所以a＋b＋c的取值范围是，即|a＋b＋c|≤.(2)同理，(a－b＋c)2≤(a2＋b2＋c2)＝3，若不等式|x－1|＋|x＋1|≥(a－b＋c)2对一切实数a，b，c恒成立，则|x－1|＋|x＋1|≥3，解集为∪.
