课时跟踪检测(九)数列的通项与求和A卷一、选择题1．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝则其前6项之和为()A．16B．20C．33D．120解析：选Ca2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33，故选C．2．已知数列2015,2016,1，－2015，－2016，…，这个数列的特点是从第二项起，每一项都等于它的前后两项之和，则这个数列的前2017项和S2017等于()A．2018B．2015C．1D．0解析：选B由已知得an＝an－1＋an＋1(n≥2)，∴an＋1＝an－an－1，故数列的前8项依次为2015,2016,1，－2015，－2016，－1,2015,2016.由此可知数列为周期数列，且周期为6，S6＝0. 2017＝6×336＋1，∴S2017＝2015.3．已知数列{an}满足a1＝5，anan＋1＝2n，则＝()A．2B．4C．5D．解析：选B因为＝＝＝22，所以令n＝3，得＝22＝4，故选B．4．已知函数f(n)＝且an＝f(n)＋f(n＋1)，则a1＋a2＋a3＋…＋a100＝()A．0B．100C．－100D．10200解析：选B由题意，a1＋a2＋a3＋…＋a100＝12－22－22＋32＋32－42－42＋52＋…＋992－1002－1002＋1012＝－(1＋2)＋(3＋2)－…－(99＋100)＋(101＋100)＝－(1＋2＋…＋99＋100)＋(2＋3＋…＋100＋101)＝－1＋101＝100，故选B．5．已知数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于()A．15B．12C．－12D．－15解析：选A an＝(－1)n(3n－2)，∴a1＋a2＋…＋a10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.6．若数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2，则使ak·ak＋1<0的k值为()A．22B．21C．24D．23解析：选D因为3an＋1＝3an－2，所以an＋1－an＝－，所以数列{an}是首项为15，公差为－的等差数列，所以an＝15－·(n－1)＝－n＋，令an＝－n＋>0，得n<23.5，所以使ak·ak＋1<0的k值为23.二、填空题7．(2019·辽宁五校联考)设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝3且当n≥2时，2an＝Sn·Sn－1，则{an}的通项公式an＝______________________________.解析：当n≥2时，由2an＝Sn·Sn－1可得2(Sn－Sn－1)＝Sn·Sn－1，∴－＝，即－＝－，∴数列是首项为，公差为－的等差数列，∴＝＋·(n－1)＝，∴Sn＝.当n≥2时，an＝Sn·Sn－1＝××＝，又a1＝3，∴an＝答案：8．(2019·广州调研)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a＋an，用[x]表示不超过x的最大整数，则＝________.解析：因为an＋1＝a＋an，所以＝＝－，即＝－，于是＋＋…＋＝＋＋…＋＝－.因为a1＝1，a2＝2>1，a3＝6>1，…，可知∈(0,1)，则－∈(0,1)，所以＝0.答案：09．已知数列{an}满足a1＝－40，且nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n，则an取最小值时n的值为________．解析：由nan＋1－(n＋1)an＝2n2＋2n＝2n(n＋1)，两边同时除以n(n＋1)，得－＝2，所以数列是首项为－40，公差为2的等差数列，所以＝－40＋(n－1)×2＝2n－42，所以an＝2n2－42n，对于二次函数f(x)＝2x2－42x，在x＝－＝－＝10.5时，f(x)取得最小值，因为n取正整数，所以n取10或11时，an取得最小值．答案：10或11三、解答题10．(2019·全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．解：(1)设{an}的公差为d.由S9＝－a5得a1＋4d＝0.由a3＝4得a1＋2d＝4.于是a1＝8，d＝－2.因此{an}的通项公式为an＝8＋(－2)(n－1)＝10－2n.(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10，所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N*}．11．(2019·武汉调研)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－2.(1)求数列{an}的通项公式；(2)令bn＝an·log2an，求数列{bn}的前n项和Tn.解：(1)当n＝1时，a1＝2a1－2，所以a1＝2.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2，Sn－Sn－1＝(2an－2)－(2an－1－2)，即an＝2an－1.所以数列{an}是以2为首项，2为公比的等比数列，所以an＝2n.(2)由(1)得bn＝2nlog22n＝n·2n，所以Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋(n－1)×2n－1＋n×2n，2Tn＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，两式相减，得－Tn＝21＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝－n×2n＋1＝(1－n...
