（五）正弦定理与余弦定理（一）知识归纳：在中，分别是三个角的对边，外接圆半径为，内切圆半径为：（1）平面几何知识：内角和定理：；三边之间的关系:任意两边和大于第三边；大边对大角；圆内接四边形性质：对角和等于。（2）正弦定理：===，，。（3）余弦定理：；；；（4）面积：（二）学习要点：（1）能够了解正弦定理和余弦定理的推导过程，能运用平行四边形的对角线的性质：对角线平方和等于四边平方和来解选择题和填空题。（2）三角形的度量问题：求边、角、面积、周长及有关圆半径等。条件角角边边边角边边边边角边适用定理正弦定理正弦定理或余弦定理余弦定理余弦定理其中“边边角”（）类型利用正弦定理求角时应判定三角形的个数：一解两解一解无解一解无解（3）三角形形状判定方法：角的判定、边的判定、综合判定、余弦定理判定；其中余弦定理判定法：如果是三角形的最大边，则有：三角形是锐角三角形；三角形是直角三角形；三角形是钝角三角形。（三）例题讲评例1、求解下列三角形：（1）；（2）；（3）（4）；（5）例2、在ΔABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且。（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）若，求bc的最大值。例3、a、b、c为△ABC的三边，其面积S△ABC=12,bc=48,b－c=2,求a.（四）练习题一、选择题题号12345678910答案1、在中，“”是“”的：A、充分不必要条件B、必要不充分条件C、充要条件D、即不充分又不必要条件2、三角形的两边之差为，夹角的余弦为，这个三角形的面积为，那么这两边分别：A、3，5B、4，6C、6，8D、5，73、在△ABC中，若，则△ABC必是：A、等腰三角形B、直角三角形C、等腰或直角三角形D、等腰直角三角4、在中，已知，，，则解此三角形的结果有：A、无解B、一解C、两解D、一解或两解5、已知A、B、C是△ABC的内角，下列不等式正确的有①sin（A+B）=sinC②cos（A+B）=－cosC③tan（A+B）=－tanC（C≠）④sin=cosA、1个B、2个C、3个D、4个6、命题“若△ABC有一内角为，则△ABC的三内角成等差数列”的逆命题是：A、与原命题真值相异B、与原命题的否命题真值相异C、与原命题的逆否命题的真值不同D、与原命题真值相同7、若△ABC的内角满足sinA＋cosA＞0，tanA-sinA＜0，则角A的取值范围是：A、（0，）B、（，）C、（，）D、（，）8、若，则△ABC是:A、正三角形B、有一内角为30°的直角三角形C、等腰直角三角形D、有一内角为30°的等腰三角形9、在△ABC中，若∠B=60°，则sin2A+sin2C的取值范围是:A、（0，）B、［］C、D、（）10、给出三个命题，则其中正确命题有：①存在一个△ABC，使得sinA+cosA=－1;②△ABC中,A＞B的充要条件为sinA＞sinB;③△ABC中，若sin2A=sin2B,则△ABC一定是等腰三角形A、0个B、1个C、2个D、3个二、填空题11、在中，，，则=。12、如图，在中，已知,是边上一点,,则.13、锐角△ABC中，若B=2A，则的取值范围是___________。14、在△ABC中，已知，，当时，的长取得最大值。15、在△ABC中，AB=2，BC=3，AC=，则△ABC的面积为，△ABC的外接圆的面积为。三、解答题：16、在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，设a+c=2b，A－C=，求sinB的值.17、根据所给条件，判断△ABC的形状.（1）acosA=bcosB；(2)18、已知锐角三角形ABC中，（Ⅰ）求证；（Ⅱ）设AB=3，求AB边上的高.19、中，角的对边，证明：（五）正弦定理与余弦定理参考答案（三）例题讲评例1：（1）（2）（3）（4）无解（5）当时，，当时，。例2、解：(Ⅰ)====(Ⅱ)∵∴,又∵∴当且仅当b=c=时,bc=,故bc的最大值是.例3、解：解法一：由,解得又∵S△ABCC=,∴∴cosA=±,∴a2=b2+c2-2bc·cosA=64+36-2×8×6×(±)=100±48,∴a=2或2.解法二：∵S△ABC=,∴∴cosA=±,∴a2=b2+c2-2bccosA=(b-c)2+2bc(1-cosA)=22+2×48×(1±)=100±48∴a=2或a=2（四）练习题一、选择题题号12345678910答案CDCCDDCCCB二、填空题11、1212、13、14、15、三、解答题：16、解析：∵，∴，故，∴17、解析：（1）由余弦定理得：acosA=bcosB∴△ABC是等腰三角形或直角三角形.（2）由正弦定理得：代入已知等式：即tanA=tanB=tanC∵A、B、C∈(0,π)∴A=B=C∴△ABC为等边三角形.18、（Ⅰ）证明：所以（Ⅱ）解：，即，将代入上式并整理得解得，舍去负值得，设AB边上的高为CD.则AB=AD+DB=由AB=3，得CD=2+.所以AB边上的高等于2+.19、证明：由正弦定理可得：，则，，
