巧构距离妙解题有些数学问题，若用常规方法求解，往往过程繁杂，难度较大，但若能抓住其结构特征，通过构造点到直线的距离求解，则能避繁就简，出奇制胜．1．证明等式例1若abR，，且22111abba．求证：221ab．证明：由已知条件可知，点()Pab，在直线22111lxbya：上，原点O到直线l的距离不大于OP，即22221(1)(1)abba≤，整理，得222(1)0ab≤，即221ab．2．证明不等式例2求证：22222()()()abxyaxby≥．分析：本题证法很多，可利用函数、平面几何等方法．然而用解析几何知识，通过构造点到直线的距离及两点间的距离证明既直观又巧妙．证明：设直线0laxbyc：，则原点与直线l上任一点的距离为22xy．由垂线段最短知，此距离不小于原点到直线l的距离，即2222cxyab≥．又()caxby，2222xyabaxby·≥．22222()()()abxyaxby≥．3．求函数最值例3已知xy，满足10xy，求22222xyxy的最小值．分析：本题是求二元函数的最小值问题，可以通过转化，将其化为二次函数来求解，但如果我们运用点到直线的距离，则可使求解变得更巧妙．解：原式可化为22(1)(1)xy，其几何意义为两点()Pxy，和(11)Q，间距离的平方，而点()Pxy，在直线10xy上．由PQ，两点间距离不小于Q到直线10xy的距离，得22111(1)(1)2xy≥，用心爱心专心即2292222xyxy≥．22222xyxy的最小值为92．4．求取值范围例4已知22220aabb，求3ab的取值范围．解：由22220aabbb，得22(1)(1)2ab．令3ab，则点()Qab，在直线30lxy：上．(11)P，到直线l的距离3121010d．由PQd≥，得222(1)(1)10ab≥．210225≤，225252≤≤，即2253252ab≤≤．通过以上几何可以看出：在求某些代数问题时，如能联系两点距与点线距的关系，则会使问题变得直观简捷，不失为一神“巧思妙解”．用心爱心专心
