不等式选讲第一节绝对值不等式[考纲传真]1.理解绝对值的几何意义，并了解下列不等式成立的几何意义及取等号的条件：|a＋b|≤|a|＋|b|(a，b∈R)，|a－b|≤|a－c|＋|c－b|(a，b，c∈R).2.会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|ax＋b|≤c；|ax＋b|≥c；|x－a|＋|x－b|≥c.1．绝对值三角不等式定理1：如果a，b是实数，则|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立．定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立．2．绝对值不等式的解法(1)含绝对值的不等式|x|
a的解法：不等式a>0a＝0a<0|x|a{x|x＞a或x＜－a}{x∈R|x≠0}R(2)|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c＞0)型不等式的解法：①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c；②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c.(3)|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法①利用绝对值不等式的几何意义求解；②利用零点分段法求解；③构造函数，利用函数的图像求解．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)|x－a|＋|x－b|的几何意义是表示数轴上的点x到点a，b的距离之和．()(2)不等式|a|－|b|≤|a＋b|等号成立的条件是ab≤0.()(3)不等式|a－b|≤|a|＋|b|等号成立的条件是ab≤0.()(4)当ab≥0时，|a＋b|＝|a|＋|b|成立．()[答案](1)√(2)×(3)√(4)√2．(教材改编)若关于x的不等式|ax－2|＜3的解集为，则实数a＝________.－3[依题意，知a≠0.又|ax－2|＜3⇔－3＜ax－2＜3，∴－1＜ax＜5.由于|ax－2|＜3的解集为，∴a＜0，＝－且－＝，则a＝－3.]3．(教材改编)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________．(－∞，－3]∪[3，＋∞)[由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，1∴|x＋1|＋|x－2|的最小值为3，要使|a|≥|x＋1|＋|x－2|有解，只需|a|≥3，∴a≥3或a≤－3.]4．解不等式x＋|2x＋3|≥2.[解]当x≥－时，原不等式化为3x＋3≥2，3分解得x≥－.6分当x＜－时，原不等式化为－x－3≥2，解得x≤－5.8分综上，原不等式的解集是.10分5．(2016·江苏高考)设a>0，|x－1|<，|y－2|<，求证：|2x＋y－4|1的解集．图[解](1)由题意得f(x)＝3分故y＝f(x)的图像如图所示．6分(2)由f(x)的函数表达式及图像可知，2当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝或x＝5.8分故f(x)＞1的解集为{x|1＜x＜3}，f(x)＜－1的解集为.所以|f(x)|＞1的解集为.10分[规律方法]1.本题用零点分段法画出分段函数的图像，结合图像的直观性求出不等式的解集，体现数形结合思想的应用．2．解绝对值不等式的关键是去绝对值符号，零点分段法操作程序是：找零点，分区间，分段讨论．此外还常利用绝对值的几何意义求解．[变式训练1](2016·吉林实验中学模拟)设函数f(x)＝|x－a|.(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥4－|x－1|；(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋2n≥4.【导学号：66482488】[解](1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥4，①当x≥2时，不等式可化为x－2＋x－1≥4，解得x≥；②当＜x＜时，不等式可化为2－x＋x－1≥4，不等式的解集为∅；③当x≤时，不等式可化为2－x＋1－x≥4，解得x≤－.综上可得，不等式的解集为∪.(2)证明：因为f(x)≤1，即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，而f(x)≤1的解集是[0,2]．所以解得a＝1，所以＋＝1(m＞0，n＞0)，所以m＋2n＝(m＋2n)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当m＝2，n＝1时取等号.绝对值三角不等式性质的应用对于任意的实数a(a≠0)和b，不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，记实数M的最大值是m.(1)求m的值；(2)解不等式|x－1|＋|x－2|≤m.[解](1)不等式|a＋b|＋|a－b|≥M·|a|恒成立，即M≤对于任意的实数a(a≠0)和b恒成立，只要左边恒小于或等于右边的最小值.2分因为|a＋b|＋|a－b|≥|(a＋b)＋(a－b)|＝2|a|，当且仅当(a－b)(a＋b)≥0...
