第1讲绝对值不等式1．已知函数f(x)＝|x－2|－|x－5|.(1)证明：－3≤f(x)≤3；(2)求不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集．解：(1)证明：f(x)＝|x－2|－|x－5|＝当22时，由f(x)≥1解得x>2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}．(2)由f(x)≥x2－x＋m得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x.而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－(|x|－)2＋≤，且当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围为.3．(2019·广东五校协作体第一次诊断考试)已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝3时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)若函数h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)的图象与x轴，y轴围成的三角形面积大于a＋4，求a的取值范围．解：(1)当a＝3时，f(x)＋|x－4|＝，当x≤3时，由f(x)≥4－|x－4|得，－2x＋7≥4，解得x≤；当3＜x＜4时，f(x)≥4－|x－4|无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|得，2x－7≥4，解得x≥；综上f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤或x≥}．(2)因为h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，所以h(x)＝所以S＝×2a×＞a＋4，解得a＞4.4．(2018·高考全国卷Ⅱ)设函数f(x)＝5－|x＋a|－|x－2|.(1)当a＝1时，求不等式f(x)≥0的解集；(2)若f(x)≤1，求a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝可得f(x)≥0的解集为{x|－2≤x≤3}．(2)f(x)≤1等价于|x＋a|＋|x－2|≥4.而|x＋a|＋|x－2|≥|a＋2|，且当x＝2时等号成立．故f(x)≤1等价于|a＋2|≥4.由|a＋2|≥4可得a≤－6或a≥2.所以a的取值范围是(－∞，－6]∪[2，＋∞)．1．(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)＝|2x＋1|＋|x－1|.(1)画出y＝f(x)的图象；(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≤ax＋b，求a＋b的最小值．解：(1)f(x)＝y＝f(x)的图象如图所示．(2)由(1)知，y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2，且各部分所在直线斜率的最大值为3，故当且仅当a≥3且b≥2时，f(x)≤ax＋b在[0，＋∞)上成立，因此a＋b的最小值为5.2．已知函数f(x)＝2|x＋a|－|x－1|(a＞0)．(1)若函数f(x)的图象与x轴围成的三角形面积的最小值为4，求实数a的取值范围；(2)对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，求实数a的取值范围．解：(1)f(x)＝如图所示，函数f(x)的图象与x轴围成的△ABC，求得A(－2a－1，0)，B(，0)，C(－a，－a－1)．所以S△ABC＝[－(－2a－1)]×|－a－1|＝(a＋1)2≥4(a＞0)，解得a≥－1.(2)由(1)中图，可知f(x)min＝f(－a)＝－a－1，对任意的x∈R都有f(x)＋2≥0，即(－a－1)＋2≥0，解得0＜a≤1.3．(2019·合肥第一次教学质量检测)已知函数f(x)＝|x－m|－|x＋3m|(m＞0)．(1)当m＝1时，求不等式f(x)≥1的解集；(2)对于任意实数x，t，不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|恒成立，求m的取值范围．解：(1)f(x)＝|x－m|－|x＋3m|＝当m＝1时，由，或x≤－3，得x≤－，所以不等式f(x)≥1的解集为{x|x≤－}．(2)不等式f(x)＜|2＋t|＋|t－1|对任意的实数t，x恒成立，等价于对任意的实数x，f(x)＜(|2＋t|＋|t－1|)min恒成立，即[f(x)]max＜(|2＋t|＋|t－1|)min，因为f(x)＝|x－m|－|x＋3m|≤|(x－m)－(x＋3m)|＝4m，|2＋t|＋|t－1|≥|(2＋t)－(t－1)|＝3，所以4m＜3，又m＞0，所以0＜m＜.4．(2019·湘中各校联考)已知函数f(x)＝|x－2|＋|2x＋a|，a∈R.(1)当a＝1时，解不等式f(x)≥5；(2)若存在x0满足f(x0)＋|x0－2|＜3，求实数a的取值范围．解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－2|＋|2x＋1|.由f(x)≥5得|x－2|＋|2x＋1|≥5.当x≥2时，不等式等价于x－2＋2x＋1≥5，解得x≥2，所以x≥2；当－＜x＜2时，不等式等价于2－x＋2x＋1≥5，即x≥2，所以解集为空集；当x≤－时，不等式等价于2－x－2x－1≥5，解得x≤－，所以x≤－.综上原不等式的解集为{x|x≤－或x≥2}．(2)f(x)＋|x－2|＝2|x－2|＋|2x＋a|＝|2x－4|＋|2x＋a|≥|2x＋a－(2x－4)|＝|a＋4|，因为原命题等价于(f(x)＋|x－2|)min＜3，即|a＋4|＜3，所以－7＜a＜－1.
