【创新设计】届高考数学2-1圆周角定理知能演练新人教A版选修4-1一、选择题1．下列说法中：(1)直径相等的两个圆是等圆；(2)长度相同的两条弧是等弧；(3)圆中最长的弦是通过圆心的弦；(4)一条弦把圆分成两条弧，这两条弧不可能是等弧，正确的有()．A．1个B．2个C．3个D．4个解析考查圆的一些基本概念．答案B2．如图所示，D是的中点，与∠ABD相等的角的个数是()．A．7B．3C．2D．1解析由同弧或等弧所对的圆周角相等知∠ABD＝∠CBD＝∠ACD＝∠DAC，故与∠ABD相等的角有3个．答案B3．如图，点A、B、C是圆O上的点，且AB＝4，∠ACB＝30°，则圆O的面积等于()．A．4πB．8πC．12πD．16π解析连接OA、OB，∵∠ACB＝30°，∴∠AOB＝60°，又∵OA＝OB，∴△AOB为等边三角形，又AB＝4，∴OA＝OB＝4，∴S⊙O＝π·42＝16π.答案D4．如图所示，若圆内接四边形的对角线相交于E，则图中相似三角形有()．A．1对B．2对C．3对D．4对解析由推论1知∠ADB＝∠ACB，∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠BDC，∠CAD＝∠CBD，∴△AEB∽△DEC，△AED∽△BEC.答案B二、填空题5．如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝6，以AC为直径的圆与斜边交于点P，则BP长为________．解析连接CP，由推论2知∠CPA＝90°，即CP⊥AB，由射影定理知AC2＝AP·AB，∴AP＝3.6，∴BP＝AB－AP＝6.4.答案6.46．如图所示，AB为⊙O的直径，弦AC＝4cm，BC＝3cm，CD⊥AB于D，则CD的长为________cm.解析由AB为⊙O的直径，可知∠ACB＝90°，由勾股定理可得AB＝5cm，因S△ACB＝AC·BC＝AB·CD.故3×4＝5·CD，所以CD＝cm.答案7．如图所示，在⊙O中，已知∠ACB＝∠CDB＝60°，AC＝3，则△ABC的周长是________．解析由圆周角定理得∠A＝∠D＝∠ACB＝60°，所以△ABC为等边三角形，所以周长等于9.答案98．如图所示，等腰△ABC内接于⊙O，AB＝AC，∠A＝40°，D是B的中点，E是A的中点，分别连接BD、DE、BE，则△BDE的三内角的度数分别是________．解析如图所示，连接AD.∵AB＝AC，D是B的中点，∴AD过圆心O.∵∠A＝40°，∴∠BED＝∠BAD＝20°.∠CBD＝∠CAD＝20°.∵E是A的中点，∴∠CBE＝∠CBA＝35°.∴∠EBD＝∠CBE＋∠CBD＝55°.∴∠BDE＝180°－20°－55°＝105°.答案55°20°105°三、解答题9．如图所示，AB是⊙O的直径，弦AC＝3cm，BC＝4cm，CD⊥AB，垂足为D，求AD、BD和CD的长．解∴AB是⊙O的直径，∵AC⊥BC.∵CD⊥AB，∴AC2＝AD·AB，BC2＝BD·AB.∵AC＝3cm，BC＝4cm，∴AB＝5cm.∴AD＝cm，BD＝cm.∵CD2＝AD·BD＝×＝cm2.∴CD＝＝cm，AD＝cm，BD＝cm.10．如图，△ABC内接于⊙O，＝，点D是上任意一点，AD＝6cm，BD＝5cm，CD＝3cm，求DE的长．解在题图中∵＝，∴∠ADB＝∠CDE，又∵＝B，∴∠BAD＝∠ECD，∴△ABD∽△CED，∴＝，即＝，∴ED＝2.5cm.11．(拓展深化)如图①所示，在圆内接△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的一点，E是直线AD和△ABC外接圆的交点．(1)求证：AB2＝AD·AE；(2)如图②所示，当D为BC延长线上的一点时，第(1)题的结论成立吗？若成立请证明；若不成立，请说明理由．证明(1)如图③，连接BE.∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB.∵∠ACB＝∠AEB，∴∠ABC＝∠AEB.∴△ABD∽△AEB.∴AB∶AE＝AD∶AB，即AB2＝AD·AE.(2)如图④，连接BE，结论仍然成立，证法同(1)．
