常考问题10不等式及线性规划问题(建议用时：50分钟)1．不等式x＜－1的解集是________．解析x＜－1⇔＜0⇔或解得{x|x＜－2或0＜x＜1}．答案{x|x＜－2或0＜x＜1}2．(·无锡市高三期末)不等式4x－2x＋2＞0的解集为________．解析根据指数运算法则求解．由4x－2x＋2＞0得2x(2x－4)＞0，又因为2x＞0，所以2x＞4，解得x＞2，故原不等式的解集为(2，＋∞)．答案(2，＋∞)3．(·南通调研)存在实数x，使得x2－4bx＋3b＜0成立，则b的取值范围是________．解析由题意可得Δ＝(－4b)2－4×3b＞0，即为4b2－3b＞0，解得b＜0或b＞.答案b＜0或b＞4．(·四川卷)已知f(x)是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f(x)＝x2－4x，那么，不等式f(x＋2)<5的解集是________．解析当x≥0时，f(x)＝x2－4x<5的解集为[0,5)，又f(x)为偶函数，所以f(x)<5的解集为(－5,5)．由于f(x)向左平移两个单位即得f(x＋2)，故f(x＋2)<5的解集为{x|－70，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于______．解析由已知约束条件，作出可行域如图中△ABC内部及边界部分，由目标函数z＝2x＋y的几何意义为直线l：y＝－2x＋z在y轴上的截距，知当直线l过可行域内的点B(1，－2a)时，目标函数z＝2x＋y的最小值为1，则2－2a＝1，解得a＝.答案6．(·苏北四市模拟)已知集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}，B＝{x|(x－2a)[x－(a2＋1)]≤0}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是________．解析因为集合A＝{x|x2＋2x－3≤0}＝{x|－3≤x≤1}，B＝{x|(x－2a)[x－(a2＋1)]≤0}＝{x|2a≤x≤a2＋1}，且“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，所以集合A是B的真子集，即，且两个等号不能同时取到，解得a≤－，则实数a的取值范围是.答案7．函数f(x)＝则不等式x＋(x＋1)·f(x＋1)≤1的解集是________．解析若x＜－1，则f(x＋1)＝－x，于是由x－x(x＋1)≤1，得x2≥－1，所以x＜－1.若x≥－1，则f(x＋1)＝x，于是由x＋x(x＋1)≤1，得x2＋2x－1≤0，解得－1－≤x≤－1＋，所以－1≤x≤－1.综上得x≤－1.答案(－∞，－1]8．已知变量x，y满足条件若目标函数z＝ax＋y(其中a＞0)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是________．解析画出x、y满足条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a＜－，∴a＞.答案9．若不等式ax2＋5x－2＞0的解集是.(1)求实数a的值；(2)求不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集．解(1)由题意知a＜0，且方程ax2＋5x－2＝0的两个根为，2，代入解得a＝－2.(2)－2x2－5x＋3＞0即为2x2＋5x－3＜0，解得－3＜x＜，即不等式ax2－5x＋a2－1＞0的解集为.10．已知x，y满足条件且M(2,1)，P(x，y)，求：(1)的取值范围；(2)x2＋y2的最大值和最小值；(3)OM·OP的最大值；(4)|OP|cos∠MOP的最小值．解画出不等式组表示的平面区域如图所示．其中A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3,2)．(1)表示区域内点P(x，y)与点D(－4，－7)连线的斜率，所以kDB≤≤kCD，即≤≤9.(2)x2＋y2表示区域内点P(x，y)到原点距离的平方，所以(x2＋y2)max＝(－1)2＋(－6)2＝37，(x2＋y2)min＝0.(3)设OM·OP＝(2,1)·(x，y)＝2x＋y＝t，则当直线2x＋y＝t经过点A(4,1)时，tmax＝2×4＋1＝9.(4)设|OP|cos∠MOP＝＝＝＝z，则当直线2x＋y＝z经过点B(－1，－6)时，zmin＝[2×(－1)－6]＝－.11．(·苏中三市模拟)函数f(x)＝x2＋ax＋3.(1)当x∈R时，f(x)≥a恒成立，求a的范围；(2)当x∈[－2,2]时，f(x)≥a恒成立，求a的范围．解(1)x∈R时，有x2＋ax＋3－a≥0恒成立，须Δ＝a2－4(3－a)≤0，即a2＋4a－12≤0，所以－6≤a≤2.所以a的取值范围是[－6,2]．(2)当x∈[－2,2]时，设g(x)＝x2＋ax＋3－a≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g(x)的图象恒在x轴上方时，有Δ＝a2－4(3－a)≤0，即－6≤a≤2.②如图(2)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈[－2，＋∞)时，g(x)≥0，即即⇒此不等式组无解．③如图(3)，g(x)的图象与x轴有交点，但在x∈(－∞，2]时，g(x)≥0，即即⇒⇒－7≤a≤－6.综合①②③得a∈[－7,2]．
