常考问题13圆锥曲线的基本问题(建议用时：50分钟)1．(·陕西卷)双曲线－＝1(m>0)的离心率为，则m等于________．解析由题意得c＝，所以＝，解得m＝9.答案92．已知双曲线C∶－＝1(a＞0，b＞0)的实轴长为2，离心率为2，则双曲线C的焦点坐标是________．解析 2a＝2，∴a＝1，又＝2，∴c＝2，∴双曲线C的焦点坐标是(±2,0)．答案(±2,0)3．(·徐州质检)已知双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右顶点，右焦点分别为A，F，它的左准线与x轴的交点为B，若A是线段BF的中点，则双曲线C的离心率为________．解析 A是B，F的中点，∴2a＝－＋c.∴e2－2e－1＝0， e＞1，∴e＝＋1.答案＋14．(·新课标全国Ⅰ卷改编)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交椭圆于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为________．解析直线AB的斜率k＝＝，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以①－②得＝－·.又x1＋x2＝2，y1＋y2＝－2，所以k＝－×，所以＝，③又a2－b2＝c2＝9，④由③④得a2＝18，b2＝9.故椭圆E的方程为＋＝1.答案＋＝15．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点与抛物线y2＝4x的焦点重合，且双曲线的离心率等于，则该双曲线的方程为________．解析由于抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)，即c＝1，又e＝＝，可得a＝，结合条件有a2＋b2＝c2＝1，可得b2＝，又焦点在x轴上，则所求的双曲线的方程为5x2－y2＝1.答案5x2－y2＝16．(·福建卷)椭圆T：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，焦距为2c.若直线y＝(x＋c)与椭圆T的一个交点M满足∠MF1F2＝2∠MF2F1，则该椭圆的离心率等于________．解析直线y＝(x＋c)过点F1，且倾斜角为60°，所以∠MF1F2＝60°，从而∠MF2F1＝30°，所以MF1⊥MF2，在Rt△MF1F2中，|MF1|＝c，|MF2|＝c，所以该椭圆的离心率e＝＝＝－1.答案－17．已知双曲线C与椭圆＋＝1有共同的焦点F1，F2，且离心率互为倒数．若双曲线右支上一点P到右焦点F2的距离为4，则PF2的中点M到坐标原点O的距离等于________．解析由椭圆的标准方程，可得椭圆的半焦距c＝＝2，故椭圆的离心率e1＝＝，则双曲线的离心率e2＝＝2.因为椭圆和双曲线有共同的焦点，所以双曲线的半焦距也为c＝2.设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，则有a＝＝＝1，b2＝＝＝，所以双曲线的标准方程为x2－＝1.因为点P在双曲线的右支上，则由双曲线的定义，可得|PF1|－|PF2|＝2a＝2，又|PF2|＝4，所以|PF1|＝6.因为坐标原点O为F1F2的中点，M为PF2的中点．所以|MO|＝|PF1|＝3.答案38．(·南京、盐城模拟)设椭圆C∶＋＝1(a＞b＞0)恒过定点A(1,2)，则椭圆的中心到准线的距离的最小值________．解析由题设知＋＝1，∴b2＝，∴椭圆的中心到准线的距离d＝，由d2＝＝＝＝，令a2－5＝t(t＞0)得d2＝＝t＋＋9≥9＋4(当且仅当t＝2时取等号)∴d≥2＋即椭圆的中心到准线的距离的最小值2＋.答案2＋9．在平面直角坐标系xOy中，已知对于任意实数k，直线(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0恒过定点F.设椭圆C的中心在原点，一个焦点为F，且椭圆C上的点到F的最大距离为2＋.(1)求椭圆C的方程；(2)设(m，n)是椭圆C上的任意一点，圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，试分别判断圆O与直线l1：mx＋ny＝1和l2：mx＋ny＝4的位置关系．解(1)由(k＋1)x＋(k－)y－(3k＋)＝0整理得(x＋y－3)k＋(x－y－)＝0，解方程组得F(，0)．设椭圆C的长轴长、短轴长、焦距分别为2a,2b,2c，则由题设知于是a＝2，b＝1.所以椭圆C的方程为＋y2＝1.(2)因为圆O：x2＋y2＝r2(r＞0)与椭圆C有4个相异公共点，所以b＜r＜a，即1＜r＜2.因为点(m，n)是椭圆＋y2＝1上的点，所以＋n2＝1，且－2≤m≤2.所以＝∈[1,2]．于是圆心O到直线l1的距离d1＝≤1＜r，圆心O到直线l2的距离d2＝≥2＞r.故直线l1与圆O相交，直线l2与圆O相离．10．已知椭圆C的中心为平面直角坐标系xOy的原点，焦点在x轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1.(1)求椭圆C的方程；(2)若P为椭圆C上的动点，M为过P且垂直于x轴的直线上的一点，＝λ，求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解(1)设椭圆长半轴长及半焦距分别为a，c，由已知得解得又 b2＝a2－c2，∴b＝，所以椭圆C的方程为＋＝1.(2)设M(x，y)，其...
