常考问题16立体几何中的向量方法(建议用时：80分钟)1．(·新课标全国Ⅱ卷)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，D，E分别是AB，BB1的中点，AA1＝AC＝CB＝AB.(1)证明：BC1∥平面A1CD；(2)求二面角D－A1C－E的正弦值．(1)证明连接AC1交A1C于点F，则F为AC1的中点．又D是AB的中点，连接DF，则BC1∥DF.因为DF⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD，所以BC1∥平面A1CD.(2)解由AC＝CB＝AB得，AC⊥BC.以C为坐标原点，CA的方向为x轴正方向，CB的方向为y轴正方向，CC1的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系C－xyz.设CA＝2，则D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，CD＝(1,1,0)，CE＝(0,2,1)，CA1＝(2,0,2)．设n＝(x1，y1，z1)是平面A1CD的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．同理，设m＝(x2，y2，z2)是平面A1CE的法向量，则即可取m＝(2,1，－2)．从而cos〈n，m〉＝＝，故sin〈n，m〉＝.即二面角D－A1C－E的正弦值为.2．(·陕西卷)如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形，O为底面中心，A1O⊥平面ABCD，AB＝AA1＝.(1)证明：A1C⊥平面BB1D1D；(2)求平面OCB1与平面BB1D1D的夹角θ的大小．(1)证明由题设易知OA，OB，OA1两两垂直，以O为原点建立直角坐标系，如图． AB＝AA1＝，∴OA＝OB＝OA1＝1，∴A(1,0,0)，B(0,1,0)，C(－1,0,0)，D(0，－1,0)，A1(0,0,1)．由A1B1＝AB，易得B1(－1,1,1)． A1C＝(－1,0，－1)，BD＝(0，－2,0)，BB1＝(－1,0,1)．∴A1C·BD＝0，A1C·BB1＝0，∴A1C⊥BD，A1C⊥BB1，又BD∩BB1＝B，∴A1C⊥平面BB1D1D.(2)解设平面OCB1的法向量n＝(x，y，z)． OC＝(－1,0,0)，OB1＝(－1,1,1)，∴∴取n＝(0,1，－1)，由(1)知，A1C＝(－1,0，－1)是平面BB1D1D的法向量，∴cosθ＝|cos〈n，A1C〉|＝＝.又 0≤θ≤，∴θ＝.3．如图，在四棱锥P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，AB∥CD，AB＝2AD＝2CD＝2，E是PB的中点．(1)求证：平面EAC⊥平面PBC；(2)若二面角P－AC－E的余弦值为，求直线PA与平面EAC所成角的正弦值．(1)证明 PC⊥平面ABCD，AC⊂平面ABCD，∴AC⊥PC. AB＝2，AD＝CD＝1，∴AC＝BC＝.∴AC2＋BC2＝AB2.∴AC⊥BC.又BC∩PC＝C，∴AC⊥平面PBC. AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PBC.(2)解如图，以点C为原点，DA，CD，CP分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立空间直角坐标系，则C(0,0,0)，A(1,1,0)，B(1，－1,0)，设P(0,0，a)(a>0)，则E，CA＝(1,1,0)，CP＝(0,0，a)，CE＝.取m＝(1，－1,0)，则m·CA＝m·CP＝0，m为面PAC的法向量．设n＝(x，y，z)为面EAC的法向量，则n·CA＝n·CE＝0，即取x＝a，y＝－a，z＝－2，则n＝(a，－a，－2)，依题意，|cos〈m，n〉|＝＝＝，则a＝2.于是n＝(2，－2，－2)，PA＝(1,1，－2)．设直线PA与平面EAC所成角为θ，则sinθ＝|cos〈PA，n〉|＝＝，即直线PA与平面EAC所成角的正弦值为.4．(·辽宁卷)如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆上的点．(1)求证：平面PAC⊥平面PBC；(2)若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角CPBA的余弦值．(1)证明由AB是圆的直径，得AC⊥BC，由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC.又BC⊂平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAC.(2)解过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB，CA，CM为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．在Rt△ABC中，因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．故CB＝(，0,0)，CP＝(0,1,1)．设平面BCP的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则所以不妨令y1＝1，则n1＝(0,1，－1)．因为AP＝(0,0,1)，AB＝(，－1,0)，设平面ABP的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，则所以不妨令x2＝1，则n2＝(1，，0)．于是cos〈n1，n2〉＝＝.所以由题意可知二面角CPBA的余弦值为.5．(·合肥第二次质检)在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，且PA⊥平面ABCD.(1)求证：PC⊥BD；(2)过直线BD且垂直于直线PC的平面交PC于点E，且三棱锥E－BCD的体积取到最大值．①求此时四棱锥E－ABCD的高；②求二面角A－DE－B的正弦值的大小．(1)证明连接AC，因为四边形ABCD是正方形，所以BD⊥AC.因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥...
