课时分层作业(七)二面角(建议用时：40分钟)一、选择题1．在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知AB＝BC＝AA1，E为CC1的中点，则二面角EBDC的平面角的大小为()A．B．C．D．B[如图，连接AC，BD，相交于点O， AB＝BC，∴OC⊥BD，而△BCE≌△DCE，∴BE＝DE，则OE⊥BD，∴∠EOC为二面角EBDC的平面角，设AB＝BC＝2，则OC＝AC＝，AA1＝2，则CE＝CC1＝AA1＝．∴∠EOC＝．即二面角EBDC的平面角的大小为．]2．过正方形ABCD的顶点A作线段AP垂直于平面ABCD，且AP＝AB，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角的大小为()A．B．C．D．以上都不正确A[设AP＝AB＝1，以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,1)，D(0,1,0)，C(1,1,0)，PC＝(1,1，－1)，PD＝(0,1，－1)．1设平面PCD的法向量m＝(x，y，z)，则取y＝1，得m＝(0,1,1)，平面ABP的法向量n＝(0,1,0)，设平面ABP与平面CDP所成的角为θ，则cosθ＝＝＝，∴θ＝．]3．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角BACD的大小为()A．30°B．45°C．60°D．90°D[如图所示，欲使得三棱锥体积最大， 三棱锥底面积一定，∴只须三棱锥的高最大即可，即当平面BAC⊥平面DAC时，三棱锥体积最大，∴当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，二面角BACD的大小为90°．]4．如图，已知三棱锥ABCA1B1C1的底面是正三角形，侧面ABB1A1是菱形，且∠A1AB＝60°，M是A1B1的中点，MB⊥AC，则二面角A1BB1C的余弦值为()A．B．C．D．B[取AB的中点O，连接OC，OA1则AB⊥OC，AB⊥OA1，建系如图所示，设OA＝OB＝1，则OA1＝OC＝，则平面ABB1的法向量为m＝(1,0,0)．2B(0,1,0)，C(－，0,0)，A1(0,0，)，M(0,1，)，B1(0,2，)．则BC＝(－，－1,0)，BB1＝(0,1，)．设平面BB1C的法向量为n＝(x，y，z)，则∴令x＝1，得n＝(1，－，1)，cos〈m，n〉＝＝＝．]5．如图，将边长为1的正方形ABCD沿对角线AC折成大小等于θ的二面角B′ACD，M，N分别为AC，B′D的中点，若θ∈，则线段MN长度的取值范围为()A．B．C．D．[1，]A[连接B′M，DM，得AC⊥B′M，AC⊥DM，∴∠DMB′是二面角B′ACD的平面角，且B′M＝DM＝，在等腰△DMB′中，MN⊥B′D，且∠DMN＝∠DMB′＝θ，θ∈，则MN＝DMcosθ∈．∴线段MN长度的取值范围为．]二、填空题36．若二面角内一点到两个面的距离分别为5和8，两垂足间的距离为7，则这个二面角的大小是________．120°[设二面角大小为θ，由题意可知cos(π－θ)＝＝＝，所以θ＝120°．]7．若P是△ABC所在平面外一点，且△PBC和△ABC都是边长为2的正三角形，PA＝，则二面角PBCA的大小为________．90°[取BC的中点O，连接PO，AO(图略)，则∠POA就是二面角PBCA的平面角．又PO＝AO＝，PA＝，所以∠POA＝90°．]8．如图，在边长为2的正方体中，M为棱AB的中点，则二面角B1CMB的正切值是________．[以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，B(2,2,0)，B1(2,2,2)，C(0,2,0)，M(2,1,0)，CM＝(2，－1,0)，CB1＝(2,0,2)，设平面CMB1的法向量n＝(x，y，z)，则取x＝1，得n＝(1,2，－1)，平面CBM的法向量n＝(0,0,1)，设二面角B1CMB的平面角为θ，则cosθ＝＝＝，∴tanθ＝．∴二面角B1CMB的正切值为．]三、解答题9．如图所示，ABCD是正方形，V是平面ABCD外一点，且VA＝VB＝VC＝AB，求二面角AVBC的余弦值．4[解]取VB的中点为E，连接AE，CE． VA＝VB＝VC＝AB，ABCD为正方形，∴AE⊥VB，CE⊥VB．∴∠AEC是二面角AVBC的平面角．设AB＝a，连接AC，在△AEC中，AE＝EC＝a，AC＝a，由余弦定理可知：cos∠AEC＝＝－，∴所求二面角AVBC的余弦值为－．10．如图所示，在梯形ABCD中，AB⊥AD，AD∥BC，AD＝6，BC＝2AB＝4，E，F分别在线段BC，AD上(异于端点)，EF∥AB．将四边形ABEF沿EF折起，连接AD，AC，BC．(1)若BE＝3，在线段AD上取一点P，使AP＝PD，求证：CP∥平面ABEF；(2)若平面ABEF⊥平面EFDC，且线段FA，FC，FD的长成等比数列，求平面EAC和平面ACF夹角的大小．[解](1)证明：在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥AB，BE＝3，∴AF＝3．又AD＝6，BC＝4，∴EC＝1，FD＝3，在线段AF上取点Q，使AQ＝QF，连接PQ，QE， AP＝PD，∴PQDF...
