第四节双曲线双曲线的定义及应用考向聚焦高考常考内容,主要考查根据双曲线定义:(1)判断曲线的类型;(2)求双曲线的方程;(3)解决有关焦点三角形的问题,一般以选择题、填空题形式出现,难度不大,所占分值4~5分1.(年全国大纲卷,理8,5分)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=2的左、右焦点,点P在C上,|PF1|=2|PF2|,则cos∠F1PF2等于()(A)(B)(C)(D)解析:由双曲线方程得:a2=b2=2,∴c2=a2+b2=4,∴|F1F2|=2c=4. |PF1|=2|PF2|结合双曲线的定义:|PF1|-|PF2|=2a=2,得|PF2|=2,|PF1|=4.在△PF1F2中,由余弦定理得:|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|cos∠F1PF2,即42=(4)2+(2)2-2×4×2cos∠F1PF2,解得cos∠F1PF2=.答案:C.2.(年全国卷Ⅰ,理9)已知F1、F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则P到x轴的距离为()(A)(B)(C)(D)解析:如图,设P(x0,y0),|PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|=4a2.又|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos60°=4c2,∴|PF1||PF2|=4b2.∴=|PF1||PF2|sin60°=b2=.则=|F1F2|·y0=·2c·y0=y0=,∴y0=.故选B.答案:B.3.(年广东卷,理19)设圆C与两圆(x+)2+y2=4,(x-)2+y2=4中的一个内切,另一个外切.(1)求圆C的圆心轨迹L的方程;(2)已知点M(,),F(,0),且P为L上动点,求||MP|-|FP||的最大值及此时点P的坐标.解:(1)如图所示:不妨设圆C与圆A内切,与圆B外切,圆心的半径为r,则有两式相减,得|BC|-|AC|=4①若圆C与圆B内切,与圆A外切,同理可得|AC|-|BC|=4.②由①②得圆心C满足:||AC|-|BC||=4,由双曲线定义知圆C的轨迹是以A、B为焦点的双曲线,设为-=1(a>0,b>0),由上面推导知2a=4,=,∴a2=4,b2=1,从而C的圆心轨迹L的方程为:-y2=1.(2)如图所示,设点P(x0,y0),则-=1③在△PMF中,||MP|-|FP||<|MF|,即当P不在直线MF上时,都有||MP|-|FP||<|MF|,又当P在直线MF上如图P'时,有||MP|-|FP||=|MF|,故当P在P'时,||MP|-|FP||有最大值|MF|,又|MF|2=(-)2+()2=4,∴||MP|-|FP||的最大值为4,此时M、F、P'三点共线,即与共线,又=(,-),=(x0-,y0),则y0+(x0-)=0,④由③④得或(舍去)∴此时P的坐标为(,-).双曲线的标准方程与几何性质考向聚焦高考热点内容主要考查:(1)双曲线标准方程的求法;(2)求双曲线离心率;(3)求双曲线渐近线.多以选择题、填空题形式出现,难度中低档,所占分值4~5分4.(年湖南卷,理5,5分)已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()(A)-=1(B)-=1(C)-=1(D)-=1解析:双曲线C:-=1的渐近线为-=0,由条件可得:,解得,故选A.答案:A.渐近线是双曲线特有的性质,是高考的热点,在记忆渐近线方程时,只要把双曲线标准方程中右边1变为0即可.5.(年福建卷,理8,5分)已知双曲线-=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于()(A)(B)4(C)3(D)5解析:本小题主要考查双曲线的基本概念,由抛物线y2=12x知双曲线的右焦点为(3,0),即c=3,∴4+b2=9,b2=5,∴双曲线的一条渐近线为y=x,由点到直线距离公式可知焦点(3,0)到此渐近线的距离为.故选A.答案:A.6.(年浙江卷,理8,5分)如图,F1,F2分别是双曲线C:-=1(a,b>0)的左、右焦点,B是虚轴的端点,直线F1B与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,线段PQ的垂直平分线与x轴交于点M.若|MF2|=|F1F2|,则C的离心率是()(A)(B)(C)(D)解析:由可解得x=,y=,即Q(,),由可解得x=-,y=,即P(-,),∴PQ的中点为N(,),而M(3c,0),∴kMN·=-1,即=-,整理得2c2=3a2,即e2=,解得e=.故选B.答案:B.7.(年安徽卷,理2)双曲线2x2-y2=8的实轴长是()(A)2(B)2(C)4(D)4解析:2x2-y2=8可化为-=1,故双曲线的实轴长为4.故选C.答案:C.8.(年湖南卷,理5)设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()(A)4(B)3(C)2(D)1解析:双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为y=±x,又 渐近线方程为3x±2y=0即y=±x,∴=,∴a=2.∴选C.答案:C.9.(年新课标全国卷,理7)设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为()(A)(B)(C)2(D)3解析:由题意知:设双曲线焦点在x轴上,则l与x轴垂直.设双曲线方程为-=1(a>0,b>0),当直线l的方程为x=c,与双曲线方程联立知A、B两点坐标分别为(c,),(c,-).所以|AB|=.又|AB|=2a×2=4a,∴=4a,∴=2.所以双曲线的离心率e==.故选B.答案:B.1...
