第四节直线、平面垂直的判定与性质与垂直相关的命题的判定考向聚焦高考的常考内容,常将定义、判定和性质结合起来,与线面平行相关知识命制试题,有时结合命题的真假判定或充要条件综合命题,考查学生对线面平行与垂直的判定定理及性质的理解,一般以选择题、填空题形式出现,难度中档以下,所占分值4~5分1.(年安徽卷,理6,5分)设平面α与平面β相交于直线m,直线a在平面α内.直线b在平面β内,且b⊥m,“则α⊥β”“是a⊥b”的()(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件(C)充分必要条件(D)既不充分也不必要条件解析:本题考查面面垂直的判定与性质,考查空间想象能力,考查充分必要条件.若α⊥β,由条件可以得出a⊥b,若a⊥b,b⊥m,由条件不能得出α⊥β,“所以α⊥β”是“a⊥b”的充分不必要条件.故选A.答案:A.本题解决的关键是对面面垂直的性质及判定定理的理解,属于概念识别问题,解决这类问题要注意直线与直线可能位置的多种情况,比如本题中b与m可能平行,也可能相交.2.(年浙江卷,理10,5分)已知矩形ABCD,AB=1,BC=.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折,在翻折过程中,()(A)存在某个位置,使得直线AC与直线BD垂直(B)存在某个位置,使得直线AB与直线CD垂直(C)存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直(D)对任意位置,“三对直线AC与BD”,“AB与CD”,“AD与BC”均不垂直解析:假设A项正确,过点A作AO⊥平面BCD,垂足为O,连接CO交BD于H,连接AH,则BD⊥平面ACH,从而BD⊥AH,BD⊥CH,这是不可能的;假设B项正确,因为DC⊥BC,∴DC⊥平面ABC,此时∠ACD=90°, CD=1,AD=,∴只需AC=1即可,这种情况是存在的,故选B.答案:B.3.(年浙江卷,理4)下列命题中错误的是()(A)如果平面α⊥平面β,那么平面α内一定存在直线平行于平面β(B)如果平面α不垂直于平面β,那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β(C)如果平面α⊥平面γ,平面β⊥平面γ,α∩β=l,那么l⊥平面γ(D)如果平面α⊥平面β,那么平面α内所有直线都垂直于平面β解析:不妨取一个长方体,平面ABB1A1⊥平面A1B1C1D1,而C1D1⊂平面A1B1C1D1,C1D1∥平面ABB1A1,从而D错误,故选D.答案:D.4.(年山东卷,理3)在空间,下列命题正确的是()(A)平行直线的平行投影重合(B)平行于同一直线的两个平面平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)垂直于同一平面的两条直线平行解析:A选项中平行直线的平行投影也可能是平行的;B选项中的两个平面也可以相交;C选项中的两个平面也可以相交.故选D.答案:D.5.(年陕西卷,理18,12分)(1)如图,“证明命题a是平面π内的一条直线,b是π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥b,则a⊥c”为真;(2)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明).(1)证明:法一:设斜线b与平面π交于点A,在b上任取一点P(异于点A),过P作PB⊥平面π,则垂足B落在投影c上. PB⊥平面π,a⊂π∴PB⊥a.又b⊥a,且PB、b是平面PAB内的两条相交线,∴a⊥平面PAB,又c⊂平面PAB,∴a⊥c.法二:如图,过直线b上任一点作平面π的垂线d,则d⊥a,设直线a、b、c、d的方向向量分别为a、b、c、d,则b,c,d共面,由平面向量基本定理知,存在唯一的实数λ、μ使得c=λb+μd,∴a·c=a·(λb+μd)=λ(a·b)+μ(a·d)由于d⊥a,b⊥a,∴a·d=0,a·b=0,∴a·c=0,即a⊥c.(2)解:逆命题为:“a是平面π内的一条直线,b是平面π外的一条直线(b不垂直于π),c是直线b在π上的投影,若a⊥c,则a⊥b”.逆命题为真命题.抛开常规的柱、锥问题,考查线面的基本问题,要求将文字语言转化为几何语言,难度不大,中档.与垂直相关的问题的证明考向聚焦高考的必考内容,常以棱柱、棱锥为载体,考查学生对线面垂直、面面垂直的判定定理与性质定理的应用,主要题型有(1)线线垂直的证明;(2)线面垂直的证明;(3)面面垂直的证明.常以解答题形式出现,难度中档,所占分值4~8分备考指津注意线线垂直线面垂直面面垂直的转化思想的训练⇔⇔,及推理论证能力的培养6.(年湖南卷,理18,12分)如图,在四棱锥PABCD中,PA⊥平面ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ABC=90°,E是CD的中点.(1)证明:CD⊥平面PAE;(2)若直线PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等,求四棱锥PABCD的体积.解:法一:(1)如图(1),连结AC.由AB=4,BC=3,∠ABC=90°得AC=5.又AD=5,E是CD...
