第3讲立体几何中的向量方法(推荐时间：60分钟)一、填空题1．两不重合直线l1和l2的方向向量分别为v1＝(1,0，－1)，v2＝(－2，0,2)，则l1与l2的位置关系是________．2.在空间中，已知AB�＝(2,4,0)，BC＝(－1,3,0)，则∠ABC的大小为________．3．已知正三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长与底面边长相等，则AB1与侧面ACC1A1所成角的正弦等于________．4．过正方形ABCD的顶点A，引PA⊥平面ABCD.若PA＝BA，则平面ABP和平面CDP所成的二面角的大小是________．5．如图所示，在空间直角坐标系中，有一棱长为a的正方体ABCO—A′B′C′D′，A′C的中点E与AB的中点F的距离为________．6．如图所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E、F分别是棱AB、BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．7．在三棱柱ABC—A1B1C1中，各棱长相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．8.在空间四边形ABCD中，AB�＝a－2c，CD＝5a＋6b－8c，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则PQ＝__________.9．已知a＝(1－t，1－t，t)，b＝(2，t，t)，则|b－a|的最小值为________．10．在四面体PABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为________．11．如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．12．已知ABCD—A1B1C1D1为正方体，①（1AC�＋A1D1＋A1B1)2＝3A1B12；②1AC�·(A1B1－A1A)＝0；③向量AD1与向量A1B的夹角是60°；④正方体ABCD—A1B1C1D1的体积为|AB·AA1·AD|.其中正确命题的序号是________．二、解答题13．已知长方体ABCD—A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝4，AA1＝4，点M是棱D1C1的中点．求直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值．14.(·全国Ⅰ)如图，四棱锥S－ABCD中，SD⊥底面ABCD，AB∥CD，AD⊥CD，AB＝AD＝1，DC＝SD＝2，E为棱SB上的一点，平面EDC⊥平面SBC.(1)证明：SE＝2EB；(2)求二面角A－DE－C的大小．15．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，平面PBC⊥底面ABCD，且PB＝PC＝.(1)求证：AB⊥CP；(2)求点B到平面PAD的距离；(3)设面PAD与面PBC的交线为l，求二面角A－l－B的大小．答案1．平行2．135°3.4．45°5.a6．60°7．60°8．3a＋3b－5c9.10.a11.12．①②13．解建立如图所示的空间直角坐标系，可得有关点的坐标为D(0,0,0)，A(4,0,0)，B(4,2,0)，C(0,2,0)，A1(4,0,4)，B1(4,2,4)，C1(0,2,4)，D1(0,0,4)．于是，M(0,1,4).DM＝(0,1,4)，DA1＝(4,0,4)，AB1＝(0,2,4)．设平面DA1M的法向量为n＝(x，y，z)，则，即.取z＝－1，得x＝1，y＝4.所以平面DA1M的一个法向量为n＝(1,4，－1)．设直线AB1与平面DA1M所成角为θ，则sinθ＝＝，所以直线AB1与平面DA1M所成角的正弦值为.14．方法一(1)证明如图所示，连结BD，取DC的中点G，连结BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，故BC⊥BD.又SD⊥平面ABCD，故BC⊥SD，所以BC⊥平面BDS，BC⊥DE.作BK⊥EC，K为垂足．因为平面EDC⊥平面SBC，故BK⊥平面EDC，BK⊥DE，即DE与平面SBC内的两条相交直线BK、BC都垂直，所以DE⊥平面SBC，所以DE⊥EC，DE⊥SB.又DB＝＝，SB＝＝，DE＝＝，EB＝＝，SE＝SB－EB＝，所以SE＝2EB.(2)解由SA＝＝，AB＝1，SE＝2EB，AB⊥SA，知AE＝＝1.又AD＝1.故△ADE为等腰三角形．取ED中点F，连结AF，则AF⊥DE，AF＝＝.连结FG，则FG∥EC，FG⊥DE.所以∠AFG是二面角A－DE－C的平面角．连结AG，AG＝，FG＝＝.cos∠AFG＝＝－.所以二面角A－DE－C的大小为120°.方法二(1)证明以D为坐标原点，线段DA，DC，DS所在的直线分别为x轴，y轴，z轴．建立如图所示的直角坐标系D－xyz，设A(1,0,0)，则B(1,1,0)，C(0,2,0)，S(0,0,2)．SC＝(0,2，－2)，BC＝(－1,1,0)．设平面SBC的法向量为n＝(a，b，c)，由n⊥SC，n⊥BC，得n·SC＝0，n·BC＝0.故2b－2c＝0，－a＋b＝0.令a＝1，则b＝1，c＝1，n＝(1,1,1)．又设SE＝λEB(λ＞0)，则E，DE＝，DC＝(0,2,0)．设平面CDE的法向量m＝(x，y，z)，由m⊥DE�，m⊥DC�，得m·DE�＝0，m·DC�＝0.故＋＋＝0,2y＝0.令x＝2，则m＝(2,0...
