第23练常考的递推公式问题的破解方略[题型分析·高考展望]利用递推关系式求数列的通项公式及前n项和公式是高考中常考题型，掌握常见的一些变形技巧是解决此类问题的关键：一般这类题目难度较大，但只要将已知条件，转化为几类“模型”，然后采用相应的计算方法即可解决.常考题型精析题型一利用累加法解决递推问题例1(1)(2015·江苏)设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，则数列前10项的和为________.(2)数列{an}中，已知a1＝2，an＋1＝an＋cn(n∈N*，常数c≠0)，且a1，a2，a3成等比数列.①求c的值；②求数列{an}的通项公式.点评由已知递推关系式若能转化为an＋1＝an＋f(n)，或－＝f(n)且f(n)的和可求，则可采用累加法.变式训练1已知数列{an}中，a1＝3，a2＝5，其前n项和Sn满足Sn＋Sn－2＝2Sn－1＋2n-1(n≥3)，试求数列{an}的通项公式.题型二利用累乘法解决递推问题例2(1)已知正项数列{an}满足a1＝1，(n＋2)a－(n＋1)a＋anan＋1＝0，则它的通项公式为()A.an＝B.an＝C.an＝D.an＝n(2)已知数列{an}满足：a1＝1,2n－1an＝an－1(n∈N且n≥2)，则数列{an}的通项公式是____________.点评若由已知递推关系能转化成＝f(n)的形式，且f(n)的前n项积能求，则可采用累乘法.注意验证首项是否符合通项公式.变式训练2数列{an}的前n项和Sn＝an(n≥2)，且a1＝1，a2＝2，则{an}的通项公式an＝______________.题型三构造法求通项公式例3(1)已知a1＝1，an＋1＝2an＋1，求an；(2)已知a1＝1，an＋1＝，求an.点评构造法就是利用数列的递推关系灵活变形，构造出等差、等比的新数列，然后利用公式求出通项.此类问题关键在于条件变形：在“an＝can－1＋b”的条件下，可构造“an＋x＝c(an－1＋x)”在“an＝”的条件下，可构造“＝＋”.变式训练3已知数列{an}中，a1＝2，当n≥2时，an＝，求数列{an}的通项公式.高考题型精练1.在数列{an}中，a1＝1，anan－1＝an－1＋(－1)n(n≥2，n∈N*)，则的值是()A.B.C.D.2.学校餐厅每天供应500名学生用餐，每星期一有A，B两种菜可供选择.调查资料表明，凡是在星期一选A种菜的，下星期一会有20%改选B种菜；而选B种菜的，下星期一会有30%改选A种菜.用an，bn分别表示在第n个星期的星期一选A种菜和选B种菜的人数，如果a1＝300，则a10为()A.350B.300C.400D.4503.已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，则Sn等于()A.2n－1B.n－1C.n－1D.4.已知f(x)＝log2＋1，an＝f()＋f()＋…＋f()，n为正整数，则a2016等于()A.2015B.2009C.1005D.10065.已知数列{an}满足a1＝1，an＝an-1＋2n(n≥2)，则a7等于()A.53B.54C.55D.1096.数列{an}满足a1＝1，且对于任意的n∈N*都有an＋1＝an＋a1＋n，则＋＋…＋等于()A.B.C.D.7.(2014·课标全国Ⅱ)数列{an}满足an＋1＝，a8＝2，则a1＝________.8.设函数f(x)＝a1＋a2x＋a3x2＋…＋anxn－1，f(0)＝，数列{an}满足f(1)＝n2an(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________.9.若f(n)为n2＋1(n∈N*)的各位数字之和，如62＋1＝37，f(6)＝3＋7＝10，f1(n)＝f(n)，f2(n)＝f(f1(n))，…，fk＋1(n)＝f(fk(n))，k∈N*，则f2016(4)＝________.10.数列{an}满足a1＋a2＋a3＋…＋an＝2n＋5，则an＝__________.11.对于正项数列{an}，定义Hn＝为{an}的“光阴”值，现知某数列的“光阴”值为Hn＝，则数列{an}的通项公式为________.12.(2015·陕西)设fn(x)＝x＋x2＋…＋xn－1，x≥0，n∈N，n≥2.(1)求fn′(2)；(2)证明：fn(x)在内有且仅有一个零点(记为an)，且0＜an－＜n.答案精析第23练常考的递推公式问题的破解方略常考题型精析例1(1)解析 a1＝1，an＋1－an＝n＋1，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n，将以上n－1个式子相加得an－a1＝2＋3＋…＋n＝，即an＝，令bn＝，故bn＝＝2，故S10＝b1＋b2＋…＋b10＝2＝.(2)解①由题意知a1＝2，a2＝2＋c，a3＝2＋3c，因为a1，a2，a3成等比数列，所以(2＋c)2＝2(2＋3c).解得c＝0或c＝2，又c≠0，故c＝2.②当n≥2时，由an＋1＝an＋cn，得a2－a1＝c，a3－a2＝2c，…an－an－1＝(n－1)c，以上各式相加，得an－a1＝[1＋2＋…＋(n－1)]c＝c.又a1＝2，c＝2，故an＝n2－n＋2(n≥2)，当n＝1时，上式也成立，所以数列{an...
