课时作业(四十六)立体几何中的向量方法一、选择题1．平面α的一个法向量为n＝(1,2,0)，平面β的一个法向量为m＝(2，－1,0)，则平面α和平面β的位置关系是()A．平行B．相交但不垂直C．垂直D．重合答案：C解析： n＝(1,2,0)，m＝(2，－1,0)，∴m·n＝2－2＋0＝0，即m⊥n，∴α⊥β.2．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－2答案：C解析： α∥β，∴＝＝，∴k＝4.3．(2015·济南模拟)已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1,1)B．C.D．答案：B解析：对于选项A，PA＝(1,0,1)，则PA·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝·(3,1,2)＝0，B正确；对于选项C，PA＝，PA·n＝·(3,1,2)＝6≠0，C不正确；对于选项D，PA＝，PA·n＝·(3,1,2)＝12≠0，D不正确．故应选B.4．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AA1＝，AD＝2，P为C1D1的中点，M为BC的中点，则AM与PM的位置关系为()A．平行B．异面C．垂直D．以上都不对答案：C解析：以点D为原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，依题意，可得D(0,0,0)，P(0,1，)，C(0,2,0)，A(2，0,0)，M(，2,0)．∴PM＝(，1，－)，AM＝(－，2,0)，∴PM·AM＝(，1，－)·(－，2,0)＝0，即PM⊥AM，∴AM⊥PM.5．在正四面体P－ABC中，PA，PB，PC两两垂直，设PA＝PB＝PC＝a，则点P到平面ABC的距离为()A.B．aC．D．a答案：B解析：根据题意，可建立如图所示的空间直角坐标系P－xyz，则P(0,0,0)，A(a,0,0)，B(0，a,0)，C(0,0，a)．过点P作PH⊥平面ABC，交平面ABC于点H，则PH的长即为点P到平面ABC的距离． PA＝PB＝PC，∴H为△ABC的外心．又 △ABC为正三角形，∴H为△ABC的重心，可得H点的坐标为.∴PH＝＝a.∴点P到平面ABC的距离为a.6．(2015·昆明模拟)如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为平行四边形，且BC⊥平面PAB，PA⊥AB，M为PB的中点，PA＝AD＝2.若AB＝1，则二面角B－AC－M的余弦值为()A.B．C.D．答案：A解析： BC⊥平面PAB，AD∥BC，∴AD⊥平面PAB，PA⊥AD，又PA⊥AB，且AD∩AB＝A，∴PA⊥平面ABCD.以点A为坐标原点，分别以AD，AB，AP所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系A－xyz.则A(0,0,0)，C(2,1,0)，P(0,0,2)，B(0,1,0)，M，∴AC＝(2,1,0)，AM＝，易求得平面AMC的一个法向量为n＝(1，－2,1)，又平面ABC的一个法向量AP＝(0,0,2)，∴cos〈n，AP〉＝＝＝＝.∴二面角B－AC－M的余弦值为.二、填空题7．如图所示，在三棱锥ABC－A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，AB＝BC＝AA1，∠ABC＝90°，点E，F分别为棱AB，BB1的中点，则直线EF和BC1所成的角是________．答案：60°解析：以BC为x轴，BA为y轴，BB1为z轴，建立空间直角坐标系．设AB＝BC＝AA1＝2，则C1(2,0,2)，E(0,1,0)，F(0,0,1)，则EF＝(0，－1,1)，BC1＝(2,0,2)，∴EF·BC1＝2，∴cos〈EF，BC1〉＝＝，∴EF和BC1所成的角为60°.8．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝，则MN与平面BB1C1C的位置关系是________．答案：平行解析： 正方体棱长为a，A1M＝AN＝，∴MB＝A1B，CN＝CA，∴MN＝MB＋BC＋CN＝A1B＋BC＋CA＝(A1B1＋B1B)＋BC＋(CD＋DA)＝B1B＋B1C1.又 CD是平面B1BCC1的法向量，∴MN·CD＝·CD＝0，∴MN⊥CD.又 MN⊄平面B1BCC1，∴MN∥平面B1BCC1.9．设正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，则点D1到平面A1BD的距离是________．答案：解析：如图，建立空间直角坐标系，则D1(0,0,2)，A1(2,0,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，∴D1A1＝(2,0,0)，DA1＝(2,0,2)，DB＝(2,2,0)，设平面A1BD的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，－1，－1)，∴点D1到平面A1BD的距离d＝＝＝.三、解答题10．(2015·济南一模)如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，AB∥DC，AD⊥DC，AB＝AD＝1，DC＝2，PD＝，M为棱PB的中点．(1)证明：DM⊥平面PBC；(2)求二面角A－DM－C的余弦值．解：(1)证明：连接BD，取DC的中点G，连接BG，由此知DG＝GC＝BG＝1，即△DBC为直角三角形，...
