压轴题(六)12．将三个边长为2的正方形，按如图所示的方式剪成6部分，拼接成如图所示的形状，再折成一个封闭的多面体，则该多面体的体积为()A．4B．2C.D.答案A解析该多面体是一个大的四面体减去三个小的四面体，其中大四面体的底面是边长为3的正三角形，其余三条棱长均为3；三个小四面体的底面是边长为的正三角形，其余三条棱长均为1，所以V＝×3××3×3－3＝4.故选A.16．(2019·杭州摸底考试)已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程是2x－y＝0，则双曲线E的离心率e＝________；若双曲线E的实轴长为2，过双曲线E的右焦点F可作两条直线与圆C：x2＋y2－2x＋4y＋m＝0相切，则实数m的取值范围是________．答案3(－3,5)解析因为双曲线E的一条渐近线的方程是2x－y＝0，所以＝2，所以e＝＝＝＝＝3.又双曲线E的实轴长为2，所以2a＝2，即a＝1，所以c＝3，F(3,0)．由题意得右焦点F在圆C外，所以需满足条件解得－3b>0)经过点P，左焦点为F(－，0)．(1)求椭圆E的方程；(2)若A是椭圆E的右顶点，过点F且斜率为的直线交椭圆E于M，N两点，求△AMN的面积．解(1)由题意得椭圆E的右焦点为(，0)，c＝，则由椭圆的定义得，＋＝2a，解得a＝2.又c＝，∴b2＝a2－c2＝1，∴椭圆E的方程为＋y2＝1.(2)过F(－，0)且斜率为的直线的方程为y＝(x＋)，联立，得消去x，得8y2－4y－1＝0，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则∴|y1－y2|＝，∵A是椭圆E的右顶点，∴|AF|＝2＋，∴△AMN的面积S＝|AF|·|y1－y2|＝×(2＋)×＝.21．(2019·湘赣十四校联考二)已知函数f(x)＝2alnx＋1，a∈R.(1)若直线l与曲线y＝f(x)恒相切于同一定点，求直线l的方程；(2)若当x≥1时，f(x)≤恒成立，求实数a的取值范围．解(1)因为直线l与曲线y＝f(x)恒相切于同一定点，所以曲线y＝f(x)必恒过定点，由f(x)＝2alnx＋1，a∈R，令lnx＝0，得x＝1，故得曲线y＝f(x)恒过的定点为(1,1)．因为f′(x)＝2a，所以切线l的斜率k＝f′(1)＝0，故切线l的方程为y＝1.(2)因为当x≥1时，f(x)≤恒成立，所以exf(x)≤ex恒成立，即ex－e[2a(x－1)lnx＋x]≥0在[1，＋∞)上恒成立．令g(x)＝ex－e[2a(x－1)lnx＋x]，则g′(x)＝ex－e，令h(x)＝g′(x)＝ex－e，则h′(x)＝ex－2ae(x≥1)．①当a≤0时，显然h′(x)＞0，所以h(x)在[1，＋∞)上单调递增，故h(x)＝g′(x)≥h(1)＝0，所以g(x)在[1，＋∞)上单调递增，故g(x)≥g(1)＝0.从而，当x≥1时，f(x)≤恒成立．②当0＜a≤时，令t(x)＝h′(x)＝ex－2ae(x≥1)，则t′(x)＝ex＋2ae＞0，所以t(x)在[1，＋∞)上单调递增，故t(x)＝h′(x)≥t(1)＝e(1－4a)≥0，同①可证，当x≥1时，f(x)≤恒成立．③当a＞，即4a＞1时，由②可知t(x)在[1，＋∞)上单调递增，因为t(1)＝e(1－4a)＜0，又t(4a)＝e4a－2ae＞e4a－2ae＝e4a－e＞0，故必存在x0∈(1,4a)使在[1，x0)上t(x)＜0，即h′(x)＜0，因此h(x)在[1，x0)上单调递减，所以x∈(1，x0)时，h(x)＜h(1)＝0，即g′(x)＜0，所以g(x)在(1，x0)上单调递减，g(x)＜g(1)＝0，即ex－e[2a(x－1)·lnx＋x]＜0，即f(x)＞，因此f(x)≤在x∈(1，x0)上不恒成立．综上可得，实数a的取值范围为a≤.
