高考达标检测（三十二）空间角3类型——线线角、线面角、二面角1．如图，在几何体ABCDE中，四边形ABCD是矩形，AB⊥平面BEC，BE⊥EC，AB＝BE＝EC＝2，G，F分别是线段BE，DC的中点．(1)求证：GF∥平面ADE；(2)求平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值．解：(1)如图，取AE的中点H，连接HG，HD，又G是BE的中点，所以GH∥AB，且GH＝AB.又F是CD的中点，所以DF＝CD.由四边形ABCD是矩形，得AB∥CD，AB＝CD，所以GH∥DF，且GH＝DF，从而四边形HGFD是平行四边形，所以GF∥DH.又GF⊄平面ADE，DH⊂平面ADE，所以GF∥平面ADE.(2)如图，在平面BEC内，过点B作BQ∥EC.因为BE⊥CE，所以BQ⊥BE.又因为AB⊥平面BEC，所以AB⊥BE，AB⊥BQ.以B为原点，分别以BE，BQ，BA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(0,0,2)，B(0,0,0)，E(2,0,0)，F(2,2,1)．因为AB⊥平面BEC，所以BA＝(0,0,2)为平面BEC的法向量．设n＝(x，y，z)为平面AEF的法向量．又AE＝(2,0，－2)，AF＝(2,2，－1)，由得取z＝2，得n＝(2，－1,2)．从而cos〈n，BA〉＝＝＝，所以平面AEF与平面BEC所成锐二面角的余弦值为.2．(2016·全国丙卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点．(1)证明MN∥平面PAB；(2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值．解：(1)证明：由已知得AM＝AD＝2.取BP的中点T，连接AT，TN，由N为PC的中点知TN∥BC，TN＝BC＝2.又AD∥BC，故TN綊AM，所以四边形AMNT为平行四边形，于是MN∥AT.因为MN⊄平面PAB，AT⊂平面PAB，所以MN∥平面PAB.(2)取BC的中点E，连接AE.由AB＝AC得AE⊥BC，从而AE⊥AD，且AE＝＝＝.以A为坐标原点，AE的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Axyz.由题意知P(0,0,4)，M(0,2,0)，C(，2,0)，N，PM＝(0,2，－4)，PN＝，AN＝.设n＝(x，y，z)为平面PMN的法向量，则即可取n＝(0,2,1)．于是|cos〈n，AN〉|＝＝.所以直线AN与平面PMN所成角的正弦值为.3．(2017·潍坊统考)如图，在四棱锥PABCD中，AD∥BC，平面APD⊥平面ABCD，PA＝PD，E在AD上，且AB＝BC＝CD＝DE＝EA＝2.(1)求证：平面PEC⊥平面PBD；(2)设直线PB与平面PEC所成的角为，求平面APB与平面PEC所成的锐二面角的余弦值．解：(1)证明：连接BE.在△PAD中，PA＝PD，AE＝ED，所以PE⊥AD.又平面APD⊥平面ABCD，平面APD∩平面ABCD＝AD，所以PE⊥平面ABCD，故PE⊥BD.在四边形ABCD中，BC∥DE，且BC＝DE，所以四边形BCDE为平行四边形，又BC＝CD，所以四边形BCDE为菱形，故BD⊥CE，又PE∩EC＝E，所以BD⊥平面PEC，又BD⊂平面PBD，所以平面PEC⊥平面PBD.(2)取BC的中点F，连接EF.由(1)可知，△BCE是一个正三角形，所以EF⊥BC，又BC∥AD，所以EF⊥AD.又PE⊥平面ABCD，故以E为坐标原点，分别以直线EF、直线ED、直线EP为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．设PE＝t(t>0)，则D(0,2,0)，A(0，－2,0)，P(0,0，t)，F(，0,0)，B(，－1,0)．因为BD⊥平面PEC，所以BD＝(－，3,0)是平面PEC的一个法向量，又PB＝(，－1，－t)，所以cos〈PB，BD〉＝＝＝.由已知可得sin＝|cos〈PB，BD〉|＝，得t＝2.故P(0,0,2)，PB＝(，－1，－2)，AB＝(，1,0)．设平面APB的法向量为n＝(x，y，z)，则由可得取y＝－，则x＝，z＝，故n＝(，－，)为平面APB的一个法向量，所以cos〈BD，n〉＝＝＝－.设平面APB与平面PEC所成的锐二面角为θ，则cosθ＝|cos〈BD，n〉|＝.4．(2017·郑州模拟)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，四边形AA1C1C是边长为2的菱形，平面ABC⊥平面AA1C1C，∠A1AC＝60°，∠BCA＝90°.(1)求证：A1B⊥AC1；(2)已知点E是AB的中点，BC＝AC，求直线EC1与平面ABB1A1所成的角的正弦值．解：(1)证明：取AC的中点O，连接A1O，因为四边形AA1C1C是菱形，且∠A1AC＝60°，所以△A1AC为等边三角形，所以A1O⊥AC.又平面ABC⊥平面AA1C1C，平面ABC∩平面AA1C1C＝AC，所以A1O⊥平面ABC，所以A1O⊥BC.又BC⊥AC，A1O∩AC＝O，所以BC⊥平面AA1C1C，所以AC1⊥BC.在菱形AA1C1C中，AC1⊥A1C，所以AC1⊥平面A1BC，所以A1B⊥AC1.(2)连接OE，以点O为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz，则A(0，－1,0)，B(2,1,0)，C(0,1,0)，C1(0,2，)，AB＝(2,2,0)，BB1＝CC1＝(0,1，)，设m＝(x，y，z)是平面ABB1A1的法向量，则m·AB＝0，m·BB1＝0，即取z＝－1，可得m＝(－，，－1)．又E(1,0,0)，所以EC1＝(－1,2，)，设直线EC1与平面ABB1A1所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈EC1，m〉|＝＝.即直线EC1与平面ABB1A1所成角的正弦值为.
