高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质高效测评 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．双曲线的渐近线为y＝±x，则双曲线的离心率是()A.B．2C.或D.或解析：若双曲线焦点在x轴上，则＝，∴e＝＝＝＝.若双曲线的焦点在y轴上，则＝，＝.∴e＝＝＝＝.答案：C2．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m等于()A．－B．－4C．4D.解析：∵方程mx2＋y2＝1，表示双曲线，∴m<0.将方程化为标准方程为y2－＝1，则a2＝1，b2＝－.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，∴b＝2a，∴b2＝4a2，∴－＝4，∴m＝－.答案：A3．已知双曲线C：－＝1的焦距为10，点P(2,1)在C的渐近线上，则C的方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解．∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝.①又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2,1)在渐近线上，∴＝1，即a＝2b.②由①②解得a＝2，b＝，故应选A.答案：A4．设双曲线－＝1(a＞0)的渐近线方程为3x±2y＝0，则a的值为()A．4B．3C．2D．1解析：双曲线－＝1的渐近线方程为3x±ay＝0，与已知方程比较系数得a＝2.答案：C二、填空题(每小题5分，共10分)5．设P为直线y＝x与双曲线－＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________.解析：利用直线与双曲线的位置关系得出a，c的关系式，再由e＝得出双曲线的离心率．∵直线y＝x与双曲线－＝1相交，1由消去y得x＝，又PF1垂直于x轴，∴＝c，即e＝＝.答案：6．已知双曲线－＝1的离心率为2，焦点与椭圆＋＝1的焦点相同，那么双曲线的焦点坐标为____________；渐近线方程为____________．解析：椭圆焦点为(4,0)，(－4,0)，∴c＝4.又e＝＝2，∴a＝2.∴b2＝c2－a2＝12，∴b＝2.∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.答案：(－4,0)和(4,0)y＝±x三、解答题(每小题10分，共20分)7．如图所示，已知F1，F2为双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°.求双曲线的渐近线方程．解析：设F2(c,0)(c>0)，P(c，y0)，则－＝1.解得y0＝±.∴|PF2|＝.在Rt△PF2F1中，∠PF1F2＝30°.方法一：|F1F2|＝|PF2|，即2c＝，将c2＝a2＋b2代入，解得b2＝2a2，∴＝，故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.方法二：|PF1|＝2|PF2|.由双曲线定义可知|PF1|－|PF2|＝2a，得|PF2|＝2a.∵|PF2|＝，∴2a＝，即b2＝2a2，∴＝.故所求双曲线的渐近线方程为y＝±x.8．根据以下条件，求双曲线的标准方程：(1)过P(3，－)，离心率为；(2)与双曲线－＝1有公共焦点，且过点(3，2)；(3)过点P，一条渐近线与直线2x－3y＝10平行．解析：(1)若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．∵e＝，∴＝2即a2＝b2.①又过点P(3，－)，有：－＝1，②由①②得：a2＝b2＝4，双曲线方程为－＝1，若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)．同理有：a2＝b2，①2－＝1，②由①②得a2＝b2＝－4(不合题意，舍去)．综上，双曲线的标准方程为－＝1.(2)设双曲线方程为－＝1，将点(3，2)代入得k＝4，所以双曲线方程为－＝1.(3)方法一：①若双曲线的焦点在x轴上，设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由已知得渐近线方程为y＝±x，故＝，又P在双曲线上，∴－＝1，可解得a2＝18，b2＝8.∴所求双曲线方程为－＝1.②若双曲线的焦点在y轴上，设其方程为－＝1(a＞0，b＞0)，由于易知其渐近线方程为y＝±x，∴＝，又双曲线过点P，所以－＝1，解得a2＝－8，b2＝－18，不合题意．综上可知，所求双曲线的标准方程为－＝1.方法二：∵易知双曲线的渐近线方程为y＝±x，∴可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0)，将代入方程，得λ＝2，故所求方程为－＝1.9．(10分)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝，过点A(0，－b)和点B(a,0)的直线与原点的距离为，求此双曲线的方程．解析：∵e＝，∴＝，∴＝，∴a2＝3b2.①又∵直线AB的方程为bx－ay－ab＝0，∵d＝＝，即4a2b2＝3(a2＋b2)．②解由①②组成的方程组得∴双曲线方程为－y2＝1.3