第二章圆锥曲线与方程2.3.2双曲线的简单几何性质第1课时双曲线的简单几何性质高效测评新人教A版选修2-1一、选择题(每小题5分,共20分)1.双曲线的渐近线为y=±x,则双曲线的离心率是()A.B.2C.或D.或解析:若双曲线焦点在x轴上,则=,∴e====.若双曲线的焦点在y轴上,则=,=.∴e====.答案:C2.双曲线mx2+y2=1的虚轴长是实轴长的2倍,则m等于()A.-B.-4C.4D.解析:∵方程mx2+y2=1,表示双曲线,∴m<0.将方程化为标准方程为y2-=1,则a2=1,b2=-.∵双曲线的虚轴长是实轴长的2倍,∴b=2a,∴b2=4a2,∴-=4,∴m=-.答案:A3.已知双曲线C:-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为()A.-=1B.-=1C.-=1D.-=1解析:根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.∵-=1的焦距为10,∴c=5=.①又双曲线渐近线方程为y=±x,且P(2,1)在渐近线上,∴=1,即a=2b.②由①②解得a=2,b=,故应选A.答案:A4.设双曲线-=1(a>0)的渐近线方程为3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1解析:双曲线-=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较系数得a=2.答案:C二、填空题(每小题5分,共10分)5.设P为直线y=x与双曲线-=1(a>0,b>0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=________.解析:利用直线与双曲线的位置关系得出a,c的关系式,再由e=得出双曲线的离心率.∵直线y=x与双曲线-=1相交,1由消去y得x=,又PF1垂直于x轴,∴=c,即e==.答案:6.已知双曲线-=1的离心率为2,焦点与椭圆+=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为____________;渐近线方程为____________.解析:椭圆焦点为(4,0),(-4,0),∴c=4.又e==2,∴a=2.∴b2=c2-a2=12,∴b=2.∴双曲线的渐近线方程为y=±x.答案:(-4,0)和(4,0)y=±x三、解答题(每小题10分,共20分)7.如图所示,已知F1,F2为双曲线-=1(a>0,b>0)的焦点,过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且∠PF1F2=30°.求双曲线的渐近线方程.解析:设F2(c,0)(c>0),P(c,y0),则-=1.解得y0=±.∴|PF2|=.在Rt△PF2F1中,∠PF1F2=30°.方法一:|F1F2|=|PF2|,即2c=,将c2=a2+b2代入,解得b2=2a2,∴=,故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.方法二:|PF1|=2|PF2|.由双曲线定义可知|PF1|-|PF2|=2a,得|PF2|=2a.∵|PF2|=,∴2a=,即b2=2a2,∴=.故所求双曲线的渐近线方程为y=±x.8.根据以下条件,求双曲线的标准方程:(1)过P(3,-),离心率为;(2)与双曲线-=1有公共焦点,且过点(3,2);(3)过点P,一条渐近线与直线2x-3y=10平行.解析:(1)若双曲线的焦点在x轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).∵e=,∴=2即a2=b2.①又过点P(3,-),有:-=1,②由①②得:a2=b2=4,双曲线方程为-=1,若双曲线的焦点在y轴上,设双曲线方程为-=1(a>0,b>0).同理有:a2=b2,①2-=1,②由①②得a2=b2=-4(不合题意,舍去).综上,双曲线的标准方程为-=1.(2)设双曲线方程为-=1,将点(3,2)代入得k=4,所以双曲线方程为-=1.(3)方法一:①若双曲线的焦点在x轴上,设其方程为-=1(a>0,b>0),由已知得渐近线方程为y=±x,故=,又P在双曲线上,∴-=1,可解得a2=18,b2=8.∴所求双曲线方程为-=1.②若双曲线的焦点在y轴上,设其方程为-=1(a>0,b>0),由于易知其渐近线方程为y=±x,∴=,又双曲线过点P,所以-=1,解得a2=-8,b2=-18,不合题意.综上可知,所求双曲线的标准方程为-=1.方法二:∵易知双曲线的渐近线方程为y=±x,∴可设双曲线方程为-=λ(λ≠0),将代入方程,得λ=2,故所求方程为-=1.9.(10分)已知双曲线-=1(a>0,b>0)的离心率e=,过点A(0,-b)和点B(a,0)的直线与原点的距离为,求此双曲线的方程.解析:∵e=,∴=,∴=,∴a2=3b2.①又∵直线AB的方程为bx-ay-ab=0,∵d==,即4a2b2=3(a2+b2).②解由①②组成的方程组得∴双曲线方程为-y2=1.3