创设契机 强化讨论 学法指导 不分版本 试题VIP免费

创设契机强化讨论任小牧在分析问题和解决问题时，根据需要对研究对象进行分类，然后将每一类分析进行求解，综合后即得到答案。这就是分类讨论的思想方法。下面举例说明一种简便易行的方法：在原问题中适当引入参变量，使问题解决时产生分类的可能，由此强化分类讨论的思想意识。请看下面的例子：例1.已知函数。（1）求成立的x的集合；（2）求函数在区间［1，2］上的最小值。解：（1）由题意，当时，由解得：或当时，由解得：综上，所求解集为（2）因为，且所以当时，的最小值为0。评注：例题1非常简单。对学生的思维训练没有太大的价值。如果将例1改造一下，就会得到05年江苏的一道高考题。例2.已知，函数。（1）当时，求使成立的x的集合；（2）求函数在区间［1，2］上的最小值。分析：引入参变量a后，表面上，问题没有发生太大的变化。实质上，我们在这里创设了一个分类讨论的契机。显然，a的取值范围不同，函数的单调区间也会不同。因此，问题由具体变得抽象，有了深度，有了训练价值。变化后的题目不仅可以考查导数的应用和不等式的解法，而且对学生的运算能力、推理能力以及分类讨论的思想意识也进行了深度考查。这样的创设意味深长，令人深思！例2的参考答案：（1）参考例1。所求解集为。（2）设此最小值为m。①当时，在区间［1，2］上，因为则是区间［1，2］上的增函数所以②当时，在区间［1，2］上，由知，③当时，在区间［1，2］上，若，在区间（1，2）上，，则是区间［1，2］上的增函数所以若，则当时，，则是区间上的增函数当时，，则是区间上的减函数因此，当时，或当时，故当时，故当时，同样有综上所述，所求函数的最小值例3.已知x＝1是函数的一个极值点，其中。（1）求n；（2）求的单调区间。解：（1）因为是的一个极值点，所以由得，即（2）由（1）得：令，解得或因此，函数的单调递增区间是和又令，解得因此，函数的单调递减区间是（1，3）。评注：本题利用导数求出了函数的单调区间。对于本例，学生解答起来自然是轻松愉快的。现在，把题目中的数据变换一下，会产生下面的例4。例4.已知x＝1是函数的一个极值点，其中，m＜0。求：（1）m与n的关系表达式；（2）的单调区间。分析：本例引入参变量m后，也就为考查分类讨论的思想方法创设了良好契机。题目增加了思考量，有了一定的难度。数学素质欠佳的学生不容易有条不紊地写出解答。这样，在学生掌握了例3的基础上再学习例4，学生的思维能力无疑会得到锻炼和提升，分类讨论的思想意识也得到了强化训练。例4的参考答案：（1）由，易得出（2）由（1）知由于在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减。从上述几例分析，我们不难看出，在习题学习中，灵活利用添加变量的方法对一些问题进行加工、整理和变形，就会创设出分类讨论的契机，就会使问题由浅入深，由具体变得抽象，使问题变得更加有训练价值。这样做，不仅有利于强化学生分类讨论的思想意识，而且更有利于培养和发展学生的思维能力。