四川省成都经济技术开发区实验中学高中数学选修1-1：第二章2.22.2.1双曲线及其标准方程课时达标检测一、选择题1．已知双曲线的a＝5，c＝7，则该双曲线的标准方程为()A.－＝1B.－＝1C.－＝1或－＝1D.－＝0或－＝0解析：选C由于焦点所在轴不确定，∴有两种情况．又∵a＝5，c＝7，∴b2＝72－52＝24.2．在方程mx2－my2＝n中，若mn<0，则方程表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在x轴上的双曲线C．焦点在y轴上的椭圆D．焦点在y轴上的双曲线解析：选D将方程化为－＝1.3．已知定点A，B且|AB|＝4，动点P满足|PA|－|PB|＝3，则|PA|的最小值为()A.B.C.D．5解析：选C如图所示，点P是以A，B为焦点的双曲线的右支上的点，当P在M处时，|PA|最小，最小值为a＋c＝＋2＝.4．双曲线－＝1的两个焦点分别是F1，F2，双曲线上一点P到焦点F1的距离是12，则点P到焦点F2的距离是()A．17B．7C．7或17D．2或22解析：选D依题意及双曲线定义知，||PF1|－|PF2||＝10，即12－|PF2|＝±10，∴|PF2|＝2或22，故选D.5．焦点分别为(－2,0)，(2,0)且经过点(2,3)的双曲线的标准方程为()A．x2－＝1B.－y2＝1C．y2－＝1D.－＝1解析：选A由双曲线定义知，2a＝－＝5－3＝2，∴a＝1.又c＝2，∴b2＝c2－a2＝4－1＝3，因此所求双曲线的标准方程为x2－＝1.二、填空题6．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________.解析：由点F(0,5)可知该双曲线－＝1的焦点落在y轴上，所以m>0，且m＋9＝52，解得m＝16.答案：167．经过点P(－3,2)和Q(－6，－7)，且焦点在y轴上的双曲线的标准方程是________________．解析：设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1(mn<0)，则解得故双曲线的标准方程为－＝1.1答案：－＝18．已知双曲线的两个焦点F1(－，0)，F2(，0)，P是双曲线上一点，且·＝0，|PF1|·|PF2|＝2，则双曲线的标准方程为________________．解析：由题意可设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)．由·＝0，得PF1⊥PF2.根据勾股定理得|PF1|2＋|PF2|2＝(2c)2，即|PF1|2＋|PF2|2＝20.根据双曲线定义有|PF1|－|PF2|＝±2a.两边平方并代入|PF1|·|PF2|＝2得20－2×2＝4a2，解得a2＝4，从而b2＝5－4＝1，所以双曲线方程为－y2＝1.答案：－y2＝1三、解答题9．已知与双曲线－＝1共焦点的双曲线过点P，求该双曲线的标准方程．解：已知双曲线－＝1.据c2＝a2＋b2，得c2＝16＋9＝25，∴c＝5.设所求双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)．依题意，c＝5，∴b2＝c2－a2＝25－a2，故双曲线方程可写为－＝1.∵点P在双曲线上，∴－＝1.化简，得4a4－129a2＋125＝0，解得a2＝1或a2＝.又当a2＝时，b2＝25－a2＝25－＝－<0，不合题意，舍去，故a2＝1，b2＝24.∴所求双曲线的标准方程为x2－＝1.10．已知△ABC的两个顶点A，B分别为椭圆x2＋5y2＝5的左焦点和右焦点，且三个内角A，B，C满足关系式sinB－sinA＝sinC.(1)求线段AB的长度；(2)求顶点C的轨迹方程．解：(1)将椭圆方程化为标准形式为＋y2＝1.∴a2＝5，b2＝1，c2＝a2－b2＝4，则A(－2,0)，B(2,0)，|AB|＝4.(2)∵sinB－sinA＝sinC，∴由正弦定理得|CA|－|CB|＝|AB|＝2<|AB|＝4，即动点C到两定点A，B的距离之差为定值．∴动点C的轨迹是双曲线的右支，并且c＝2，a＝1，∴所求的点C的轨迹方程为x2－＝1(x>1)．2
