高二数学选修II数学归纳法知识精讲人教版一.本周教学内容:高三数学选修(II)数学归纳法学习指导:数学归纳法是证明与正整数有关的命题的一种重要方法。证明原理与步骤:10证明当(命题中最小的正整数)时命题成立nn20假设当时命题成立nkknkN(*)由此证明当时命题也成立nk1则由、知对所有的正整数,原命题均成立。120nn例1.用数学归纳法证明:112131412112111212nnnnnnN*证明:111121212当时,左边右边n左边右边,即等式成立21假设当时nkkkN(*)112131412112111212kkkkk当时nk11121314121121211221112121211221213121122kkkkkkkkkkkkk等式成立由、知,等式成立12例2.已知中,,{}*aaSaanNnnnnn021用数学归纳法证明:annnNn1(*)证明:1121011111111当时,由naSaaSaann11111成立21假设当时,nkakkk当时nk1aSSkkk11121111[]aaaakkkkaakkkkkk1111110用心爱心专心119号编辑1akakk121210akkkkakk11244210()即时成立nk1由、知成立121annnNn(*)例3.设,,用数学归纳法证明且pppnpnnNn10112()(*)证明:1211212022当时,成立nppppp()()211假设时,nkpkpk()当时nk1()()()()()111111pppkppkk1111022()()()kpkpkpkp所以成立由、知,原不等式成立12例4.用数学归纳法证明能被整除nnnN356(*)证明:11515163当,成立nnn2563假设时,能被整除nkkk当时nk1()()()kkkkkkkkkk151331555316332331661kkkk()()能被整除[为偶数]由假设知,能被整除成立kkkk353166()由、知,命题成立12例5.证明能被整除3584121nn证明:113536846853当时,原式成立n23584121假设时,能被整除nkkk当时nk13533554523414212kkkk333555353355533355654144212124214412121244412121kkkkkkkkkk()()()由假设知,能被8整除由、知命题成立12例6.证明凸边形的对角线条数为nfnnnn()()1234证明:1442124432当时,左边,右边nf()()所以成立24123假设时,nkkfkkk()()()当时nk1用心爱心专心119号编辑1fkfkkkkkkk()()()()()()12112311212成立由、知命题成立21.用数学归纳法证明:124146168122241nnnn()()2.用数学归纳法证明:121321211612nnnnnnnn()()()()()3.用数学归纳法证明对于n0的整数Annn1112221能被133整除。4.平面内有n个圆,其中每两个圆都相交于两点,且每三个圆都不相交于同一点,求证:这n个圆把平面分成nn22部分。用心爱心专心119号编辑1[参考答案]http://www.DearEDU.com1.证明:1当n1时,左边122218(),右边14218所以成立2假设当nk时成立,即124122241kkkk()()当nk1时,12412221212441141214211422kkkkkkkkkkkkk()()()()()()()()()()成立由、知等式成立22.证明:1当n1时,左1,右16231所以成立2假设nk时成立,即1211211612kkkkkkk()()()()当nk1时112111112111231161221216123()()()()()()()()()()()()kkkkkkkkkkkkkkk成立由、知等式成立23.证明:1当n0时,A021112133成立2假设nkk()0时,Akkk1112221能被133整除当nk1时,Akkkkk132322121112111112121111111212121112111112121211111112133122212122122121222121kkkkkkkkkk()()()能被133整除由、知命题成立24.证明:1当n2时,f()2422242,又所以成立2假设nk时,fkkk()22当nk1时fkfkkk()()122(增加了部分)kkkkk2222112()()成立用心爱心专心119号编辑1由、知命题成立2用心爱心专心119号编辑1