概率与统计专练·作业(二十八)1．网购逐渐步入百姓生活，网络(电子)支付方面的股票也受到一些股民的青睐．某单位4个热心炒股的好朋友研究后决定购买“生意宝”和“九州通”这两支股票中的一支．他们约定：每个人必须从“生意宝”和“九州通”这两支股票中选择一支购买，且通过掷一枚质地均匀的骰子决定各自购买哪支股票，掷出点数为5或6的人买“九州通”，掷出点数小于5的人买“生意宝”．(1)求这4个人中恰有1人购买“九州通”股票的概率；(2)用ξ、η分别表示这4个人购买“生意宝”和“九州通”股票的人数，记X＝ξη，求随机变量X的分布列与数学期望E(X)．解析因为掷一枚质地均匀的骰子，掷出点数为5或6的概率为，所以这4个人中每个人购买“九州通”的概率为，购买“生意宝”的概率为.设“这4个人中恰有i人购买‘九州通’股票”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)，则P(Ai)＝C()i()4－i(i＝0,1,2,3,4)．(1)这4个人中恰有1人购买“九州通”股票的概率P(A1)＝C()1()3＝.(2)易知X的所有可能取值为0,3,4.P(X＝0)＝P(A0)＋P(A4)＝C()0()4＋C()4·()0＝＋＝，P(X＝3)＝P(A1)＋P(A3)＝C()1()3＋C()3·()1＝＋＝，P(X＝4)＝P(A2)＝C()2()2＝＝.所以X的分布列为X034P随机变量X的数学期望E(X)＝0×＋3×＋4×＝.2．(2015·贵阳七校联考)交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路网畅通或拥堵的概念．记交通指数为T，其范围为[0,10]，分别有5个级别：T∈[0,2)畅通；T∈[2,4)基本畅通；T∈[4,6)轻度拥堵；T∈[6,8)中度拥堵；T∈[8,10]严重拥堵．早高峰时段(T≥3)，从贵阳市交通指挥中心随机选取了二环以内50个交通路段，依据交通指数数据绘制的直方图如图所示：(1)据此直方图估算交通指数T∈[4,8)时的中位数和平均数；(2)据此直方图求出早高峰二环以内的3个路段至少有2个严重拥堵的概率是多少？(3)某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为35分钟，中度拥堵为45分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望．解析(1)由直方图知：T∈[4,8)时交通指数的中位数为5＋1×＝.T∈[4,8)时交通指数的平均数为4.5×0.2＋5.5×0.24＋6.5×0.2＋7.5×0.16＝4.72.(2)设事件A为“1条路段严重拥堵”，则P(A)＝0.1，则3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为：P＝C×()2×(1－)＋C×()3＝，所以3条路段中至少有2条路段严重拥堵的概率为.(3)由题意，所用时间X的分布列如下表：X30354560P0.10.440.360.1则E(X)＝30×0.1＋35×0.44＋45×0.36＋60×0.1＝40.6，所以此人上班路上所用时间的数学期望是40.6分钟．3．(2015·广东珠海模拟)已知函数f(x)＝x3－(a－1)x2＋b2x，其中a，b为常数．(1)当a＝6，b＝3时，求函数f(x)的单调递增区间；(2)若任取a∈[0,4]，b∈[0,3]，求函数f(x)在R上是增函数的概率．解析(1)当a＝6，b＝3时，f(x)＝x3－5x2＋9x，f′(x)＝x2－10x＋9.令f′(x)＝x2－10x＋9≥0，解得x≤1或x≥9，故函数f(x)的单调增区间分别为(－∞，1]和[9，＋∞)．(2)f′(x)＝x2－2(a－1)x＋b2，若函数f(x)在R上是增函数，则对于任意x∈R，f′(x)≥0恒成立，所以Δ＝4(a－1)2－4b2≤0，即(a＋b－1)(a－b－1)≤0.设“f(x)是R上的增函数”为事件A，则事件A对应的区域为{(a，b)|(a＋b－1)(a－b－1)≤0}，全部试验结果构成的区域为Ω＝{(a，b)|0≤a≤4,0≤b≤3}，所以P(A)＝＝＝.故函数f(x)在R上是增函数的概率为.4．(2015·江西新课标)为了提高食品的安全度，某食品安检部门检查了一个海水养殖场养殖的鱼的有关情况，安检人员从这个海水养殖场中不同位置共捕捞出100条饲养一年的鱼，称得每条鱼的质量(单位：kg)，并将所得的数据进行统计得下表．若规定超过正常生长速度(1.0～1.2千克/年)的比例超过15%，则认为所饲养的鱼有问题，否则认为所饲养的鱼没有问题．鱼的质量[1.00，1．05)[1.05，1．10)[1.10，1．15)[1.15，1．20)[1.20，1．25)[1.25，1．30)鱼的条数320353192(1)根据数据统计表，估计数据落在[1.20,1.30)中的概率约为多少，并判断此养殖场所饲养的鱼是否存在问题？(2)上面捕捞的100条鱼中，从质量在[1.00,1.05)和[1.25，1.30)的鱼中，任取2条鱼来检测，求恰好所取得的鱼的质量...
