高中数学 第四讲 数学归纳法证明不等式 4.2 用数学归纳法证明不等式自主训练 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

4.2用数学归纳法证明不等式自主广场我夯基我达标1.用数学归纳法证明“nnnnn1312111≥2411,(n∈N+)”时，由n=k到n=k+1时，不等式左边应添加的项是（）A.)1(21kB.221121kkC.11221121kkkD.2111221121kkkk思路解析：当n=k时，不等式为kkkk12111≥2411，当n=k+1时，左边=2)2(11)1(1kk)1()1(1)1(1)1()1(1kkkkkk=22112113121kkkkkk,比较n=k与n=k+1的左边，知应添加的项是121221121kkk.答案：C2.用数学归纳法证明1+21+31+…+121n1)时，第一步即证下述哪个不等式成立（）A.1<2B.1+21<2C.1+21+31<2D.1+31<2思路解析：n=2时，左边=1+21+31，右边=2.所以应证1+21+31<2.答案：C3.用数学归纳法证明“1+21+31+…+121n1)”时，由n=k（k>1）不等式成立，推证n=k+1时，左边应增加的项数是（）A.2k-1B.2k-1C.2kD.2k+1思路解析：增加的项数为（2k+1-1）-(2k-1)=2k+1-2k=2k.答案：C4.关于正整数n的不等式2n>n2成立的条件是（）A.n∈N+B.n≥41C.n>4D.n=1或n>4思路解析：验证n=1,2,3,4,5,6等值.答案：D5.对于不等式nn2≤n+1(n∈N+),某学生的证明过程如下：（1）当n=1时，112≤1+1，不等式成立.(2)假设n=k(k∈N+)时，不等式成立，即kk2212n成立.证明：(1)当n=2时，左边=1+31=34,右边=25,左边>右边.∴不等式成立.(2)假设n=k时，不等式成立，即（1+31）(1+51)…(1+121k)>212k,那么当n=k+1时，（1+31）(1+51)…(1+121k)［1+1)1(21k］>1222212kkk2=1223841224841222222kkkkkkkk21)1(21221232kkkk.∴n=k+1时，不等式也成立.由（1）（2）知，对一切大于1的自然数n，不等式都成立.8.设数列{an}满足a1=2,an+1=an+na1(n=1,2,3,…)求证：an>12n对一切正整数n成立.证法一：当n=1时，a1=2>112,不等式成立,假设n=k时，ak>12n成立.当n=k+1时,ak+12=ak2+21ka+2>2k+3+21ka>2(k+1)+1.∴n=k+1时，ak+1>1)1(2k成立.综上（1）（2）可知，an>12n对一切正整数成立.证法二：当n=1时，a1=2>3=112,结论成立.假设n=k时结论成立，即ak>12k.当n=k+1时，由函数f(x)=x+x1(x>1)的单调性和归纳假设有ak+1=ak+ka1>12k+121k.因此只需证12k+121k≥32k,而这等价于(12k)+(121k)2≥32k121k≥0显然成立.所以当n=k+1时，结论成立.因此，an>12n对一切正整数n均成立.39.（经典回放）已知数列{bn}是等差数列，b1=1,b1+b2+…+b10=145(n∈N+)(1)求数列{bn}的通项.（2）设数列{an}的通项an=loga(1+nb1)(其中a>0且a≠1),记Sn是数列{an}的前n项和，试比较Sn与31logabn+1的大小，并证明你的结论.解：(1)设数列{bn}的公差为d,由题意，得10×1+2)110(10×d=145,∴d=3,bn=3n-2.(2)由bn=3n-2知,Sn=loga(1+1)+loga(1+41)+…+loga(1+231n)=loga［(1+1)(1+41)…(1+231n)］,31logabn+1=loga313n.因此要比较Sn与31logabn+1的大小，可先比较（1+1）(1+41)…(1+231n)与313n的大小.取n=1,有(1+1)>3113,取n≥2，有(1+1)(1+41)…(1+231n)>313n.下面用数学归纳法证明之：①当n=1时，已验证不等式成立.②假设当n=k(k∈N+)时，不等式成立，即(1+1)(1+41)…(1+231k)>313k,则当n=k+1时,(1+1)(1+41)…(1+231k)［1+2)1(31k］>313k(1+131k)=13133kk·...