定比分点向量式de变式及其应用李继已知有向线段,如果点P使得,并设O为平面上任意一点,则。图1此式称为有向线段的定比分点P的向量表达式,若令,此式变形为,对于平面上四点,若满足,则具有如下重要结论:点是平面上不共线的四点,若存在实数,使,则三点共线的充要条件是。证明:(充分性)由,得所以即所以故点三点共线。(必要性)由于以上证明步步可逆,故必要性可证。例1.如图2,直线PQ过△ABO的重心G,已知,求的值。图2解:因为G是△AOB的重心,所以因为点P、Q、G三点共线,所以由重要结论知即例2.如图3,E是平行四边形ABCD的对角线BD的内分点,且E内分BD的比为2:3,点F内分AB的比为1:2,求证:点C、E、F三点共线。图3证明:因为E内分BD的比为2:3,可得因为,所以由重要结论可知点C、E、F三点共线。例3.(梅涅劳斯定理)如图4,设直线PR分别交△ABC的三边AB、BC、CA(或延长线)于R、P、Q,求证:。图4证明:设由题意可得:因为P、Q、R三点共线,所以由重要结论可知将上式化简得:,得证。从以上几例可看出线段的定比分点公比变式在解题中的应用,同时说明平面向量具有一套良好的运算性质,它可以把几何图形的性质转化为向量运算,变抽象的逻辑推理为具体的向量运算,实现了“数”与“形”结合,因此用平面向量解决几何问题显得特别简捷。