定比分点向量式de变式及其应用 专题辅导 不分版本试卷VIP免费

定比分点向量式de变式及其应用李继已知有向线段，如果点P使得，并设O为平面上任意一点，则。图1此式称为有向线段的定比分点P的向量表达式，若令，此式变形为，对于平面上四点，若满足，则具有如下重要结论：点是平面上不共线的四点，若存在实数，使，则三点共线的充要条件是。证明：（充分性）由，得所以即所以故点三点共线。（必要性）由于以上证明步步可逆，故必要性可证。例1.如图2，直线PQ过△ABO的重心G，已知，求的值。图2解：因为G是△AOB的重心，所以因为点P、Q、G三点共线，所以由重要结论知即例2.如图3，E是平行四边形ABCD的对角线BD的内分点，且E内分BD的比为2：3，点F内分AB的比为1：2，求证：点C、E、F三点共线。图3证明：因为E内分BD的比为2：3，可得因为，所以由重要结论可知点C、E、F三点共线。例3.（梅涅劳斯定理）如图4，设直线PR分别交△ABC的三边AB、BC、CA（或延长线）于R、P、Q，求证：。图4证明：设由题意可得：因为P、Q、R三点共线，所以由重要结论可知将上式化简得：，得证。从以上几例可看出线段的定比分点公比变式在解题中的应用，同时说明平面向量具有一套良好的运算性质，它可以把几何图形的性质转化为向量运算，变抽象的逻辑推理为具体的向量运算，实现了“数”与“形”结合，因此用平面向量解决几何问题显得特别简捷。