初中数学抛物线顶点式的应用 试题VIP免费

初中数学抛物线顶点式的应用对抛物线知识的考查是中考的重点。这部分知识点虽然不多，但其变化复杂，既有抛物线和几何知识的结合，又有抛物线在生活中的应用。本文就抛物线顶点式在解题中的应用作一简单归纳，供同学们参考。一、正确区分抛物线的顶点例1.抛物线的顶点坐标是（）A.（2，1）B.（）C.D.解析：初看，该题似乎应选A，再细看，该解析式和抛物线的顶点式是不同的。抛物线的顶点式是的形式，其中括号内x前面的系数是1，而该题括号中x前面的系数是3，应先将抛物线解析式转化为，所以应选C。二、利用顶点求抛物线的解析式例2.已知抛物线的顶点坐标是（2，3），且经过点（5，6），求该抛物线的解析式。解析：该题既可以用抛物线的一般式求解，也可以用抛物线的顶点式求解。设抛物线的解析式为，则因为该抛物线经过点（5，6），所以解得所以解析式为，即三、确定图象的顶点和对称轴，正确画出图形例3.画出函数的图象。解析：画函数图象的步骤是：列表，描点，连线。如果本题随便列一个表，找几个点画图象，就有可能几个点都偏在对称轴的一边，从而不能得出对称的图象。所以，解答该题应先把一般式化为顶点式，确定出图象的顶点和对称轴，然后在对称轴的两侧各取几个点，就能画出相对准确的图象了。即，列出下表，依表中数据即可画出图象（图象略）。x-1012345y133-3-5-3313四、求抛物线旋转、平移、翻折后的图象的解析式例4.已知抛物线的解析式是。求：（1）该抛物线绕x轴翻转180°所得图象的函数解析式。（2）该抛物线绕顶点旋转180°所得图象的函数解析式。（3）该抛物线向右平移2个单位，再向上平移3个单位所得图象的函数解析式。解析：（1）绕x轴翻转180°后的抛物线和原抛物线的形状相同，开口方向相反，顶点关于x轴对称。原抛物线可变形为，顶点（1，5）关于x轴的对称点是（1，）所以新抛物线的解析式为，即（2）绕顶点旋转180°后的函数图象，开口方向与原抛物线相反，顶点不变。参照（1）得新抛物线解析式为，即（3）抛物线的平移用一般式来解比较麻烦，而用顶点式则简单多了。依题意得，即五、求抛物线与x轴的两交点和顶点所围成三角形的面积例5.已知抛物线的解析式为，其图象与x轴的两交点为A，B，顶点为C。（1）求△ABC的面积。（2）抛物线上是否存在点P，使得△ABP的面积为1？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。解析：（1）易知抛物线与x轴两交点的坐标分别为（1，0），（3，0）所以AB＝2由，得，可知故（2）由（1）知点C为满足条件的一个点P，在x轴的上方肯定还有另外两个点满足要求。因△ABP面积为1，所以，即当时，，解得所以点P的坐标为或（2，）六、求函数最大值，设计出最佳方案例6.心理学家发现，学生对概念的接受能力y与接受概念所用时间x（单位：min）之间满足。y值越大，表示接受能力越强。（1）x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐增强？x在什么范围内时，学生的接受能力逐渐降低？（2）第10min时，学生的接受能力是多少？（3）第几分钟时，学生的接受能力最强？解析：抛物线是轴对称图形，找出抛物线的对称轴，就很容易确定其增减性。由条件知（1）当时，学生的接受能力逐渐增强；当时，学生的接受能力逐渐降低。（2）当时，，即学生的接受能力为59。（3）当时，y取得最大值为59.9。所以，在第13min时，学生的接受能力最强。