直线与平面的夹角高二、二部刘静一、教学目标：1、知识与技能：掌握直线在平面内的射影及斜线与平面所成角的概念，并会求直线与平面所称的角。掌握最小角定理并会利用公式解决一些问题。2、过程与方法：（1）空间想象能力：认识直线与平面的位置关系，遵循从实图和简单的几何体入手，逐步培养学生的几何直观和空间想象能力。（2）转化的思想方法：在二维与三维空间的转化及线面角与线线角的转化过程中，体现出转化的思想方法。（3）逻辑思维与运算能力：通过对线面角大小的求解，加强算中有证，以证助算，以培养学生的逻辑思维能力及运算能力。3、情感、态度与价值观：体验概念的形成过程，培养创新意识和数学应用意识，提高学习数学的兴趣。二、教学重点和难点：重点：线面角的概念、最小角定理难点：线面角的求法三、教学方法：启发探究四、教学过程：问题1：直线与平面的位置关系有哪几种？90°0°规定：如果一条直线与一个平面垂直，我们规定这条直线和平面的夹角为。如果一条直线与一个平面平行或在平面内，我们规定这条直线和平面的夹角为。问题2：平面的一条斜线与平面的夹角如何定义呢？aOABCDEAOBÐ最小研究斜线与平面内的任意直线所成角的关系：0ABBM已知OA是平面的斜线段，O是斜足，线段AB垂直于，B为垂足，则直线OB是斜线OA在平面内的射影。设OM是平面内通过点O的任意条直线OA与OB所成的角为OB与OM所成的角为OA与OM所成的角为aa1q2qq1q2qq证明：（向量法）1qq£OAOBBA=+�OAmOBmBAm=+�下面我们用向量的运算来研究它们之间的关系：M1q2qqABB0在直线OM上取单位向量m0BAm=�OAmOBm\=�2coscosOAOBqq\=�2coscosOBOAqq\=��12coscoscosqqq=所以20cos1q££1coscosqq\£1090qq\°£°（）cos,ababab=<>（同学们自己（同学们自己推导三个角度推导三个角度之间的关系）之间的关系）斜线与平面所成的角1、最小角定理：斜线和它在平面内的射影所成的角，是斜线与这个平面内所有直线所成角中最小的角。2、规定：斜线和它在平面内的射影所成的角叫做斜线和平面所成的角（或斜线和平面的夹角）。说明：说明：（（11）实质：空间角——平面角；）实质：空间角——平面角；线面角——线线角；线面角——线线角；（（22）线面角的范围：斜线）线面角的范围：斜线直线直线1111ABCDABCD-1AB例例11、正方形的棱长为、正方形的棱长为11。。（（11）直线与平面）直线与平面ABCDABCD所成的角所成的角（（22）直线与平面所成的角）直线与平面所成的角11BDDB1ABDDCCAABB1A1C1B1D证明：：111111111tan14545AAACABABACABARtABCAAABAAABAABABAABABCD^\\Ð==\Ð==\Ð=°\°平面是在平面就是在中，与平面所成的角是所求的线面角内的射影内的射影O1111ABCDABCD-1AB例例11、正方形的棱长为、正方形的棱长为11。。（（11）直线与平面）直线与平面ABCDABCD所成的角所成的角（（22）直线与平面所成的角）直线与平面所成的角11BDDB1ABDDCCAABB1A1C1B1DO111BOABBBDD\是在平面的射影1111111111111111111111,ACBDACBBBDBBBBDBBDDBBBBDDACBBDD^^=ÎÎ\^面面面连接交于点，连接11ACOBO11BD\11BBDD30°1AB解：1ABO\Ð就是所求的线面角111111122,21sin230RtABOABAOAOABOABABO==\Ð==\Ð=°在中，直线与平面所成的角为找（作）找（作）证证求求答答1111ABCDABCD-1AB例例11、正方形的棱长为、正方形的棱长为11。。（（11）直线与平面）直线与平面ABCDABCD所成的角所成的角（（22）直线与平面所成的角）直线与平面所成的角11BDDB1ABDDCCAABB1A1C1B1DO以点D为原点建立空间直角坐标系[D;X,Y,Z],如图所示向量法：1(0,1,1)AB=-�1(1,0,1)(1,1,0)(1,0,0(0,1,0)(0,0,0)ABACD）[]11111n=001n12cos,n22n,n,n135ABCDABABABABAB\<>===<>Î90°180°\<>=°�����面的法向量是（，，）S145ABABCD\°与面所成的角是求线面角的方法：求线面角的方法：（（11）定义法：）定义法：11、找；、找；22、证；、证；33、求；、求；44、答、答（2）向量法：1、建系；2、求法向量；3、求角；4、结论练习...
