6.2向量基本定理与向量的坐标表示6.2.2直线上向量的坐标及其运算6.2.3平面向量的坐标及其运算第六章平面向量初步学习目标1.掌握直线上向量的坐标表示及平面向量的坐标表示.2.理解向量加法、减法、数乘的坐标运算法则，能熟练进行向量的坐标运算.3.能借助向量的坐标，用已知向量表示其他向量.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件，能用向量共线的坐标表示解决一些简单问题.学习目标重点：平面向量的坐标表示及其坐标的应用.难点：向量共线的坐标表示的应用.知识梳理一、直线上向量的坐标及其运算1直线上向量的坐标给定一条直线l以及这条直线上一个单位向量，对于直线l上的任意一个向量，一定存在唯一的实数x，使得＝x，此时，x称为向量a的坐标.如果直线上向量的坐标为x，则x既能刻画的模，也能刻画向量的方向.事实上，此时|a|＝|xe|＝|x||e|＝|x|；而且：当x>0时，的方向与e的方向相同；当x＝0时，是零向量；当x<0时，的方向与的方向相反.也就是说，在直线上给定了单位向量之后，直线上的向量完全被其坐标确定.如果数轴上一点A对应的数为x（记为A（x），也称点A的坐标为x），那么向量对应的坐标为x；反之，这一结论也成立.因此，为了求出直线上向量的坐标，可以选择如下两种方法中的任何一种：（1）将向量用单位向量表示出来；（2）将向量的始点平移到原点，读出终点的坐标.2直线上向量的运算与坐标的关系假设直线上两个向量a，b的坐标分别为x1，x2，即a＝x1e，b＝x2e.当a＝b时，有x1e＝x2e，由e是单位向量可知x1＝x2；反之，结论也成立[1].这就是说，直线上两个向量相等的充要条件是它们的坐标相等.另外，因为a+b＝x1e+x2e＝（x1+x2）e，所以a+b的坐标是x1+x2，这就是说，直线上两个向量和的坐标等于两个向量的坐标的和.类似地，可以得出，如果u，v是两个实数，那么ua+vb的坐标为ux1+vx2，ua-vb的坐标为ux1-vx2.二、平面向量的正交分解及坐标表示把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解.在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i、j作为基底.对于平面内的一个向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x、y，使得a＝xi+yj.这样，平面内的任一向量a都可由x、y唯一确定，我们把有序数对叫做向量a的坐标，记作a＝（x，y），这就是向量的坐标表示.（x，y）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），a+b＝，a-b＝.即两个向量和（差）的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和（差）.（x1+x2，y1+y2）三、平面向量的坐标运算λa＝.即实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标.已知A（x1，y1），B（x2，y2），＝.一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点的坐标减去始点的坐标.（x1-x2，y1-y2）（λx1，λy1）（x2-x1，y2-y1）a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），向量a⫽b（.四、平面向量共线的坐标表示x1y2-x2y1＝0常考题型一直线上向量的坐标及运算例1.已知在数轴上A，B，C三点的坐标分别为1，7，-3.（1）求BA�，AC�，CB�的坐标和长度；（2）若CD�的坐标为4，求点D的坐标；（3）若|BE�|＝2，求点E的坐标；（4）若线段BC的中点为F，求点F的坐标.【解】（1） A，B，C三点的坐标分别为1，7，-3，∴BA�＝OA�-OB�，BA�的坐标为-6，|BA�|＝6；AC�＝OC�-OA�，AC�的坐标为-4，|AC�|＝4；CB�＝OB�-OC�，CB�的坐标为10，|CB�|＝10.（2）设点D的坐标为x，则CD�的坐标为x-（-3）＝x+3＝4，∴x＝1，即点D的坐标为1.（3）设点E的坐标为y，则|BE�|＝|y-7|＝2，∴y＝5或9，即点E的坐标为5或9.（4）设点F的坐标为λ，则λ＝7(3)2＝2，即点F的坐标为2.方法规律①已知两点的坐标，可直接套用数轴上两点之间的距离公式及中点坐标公式.②数轴上任意向量的坐标可用终点坐标减去起点坐标求得，其绝对值为两点间的距离.已知在数轴上四点A，B，C，D的坐标分别为-4，-2，c，d.（1）若AC�的坐标为5，求c的值；（2）若|BD�|＝6，求d的值；（3）若AC�＝-3AD�，求证：3CD�＝-4AC�.变式训练（1）解： AC�的坐标为5，∴c-（-4）＝5，∴c＝1.（2）解： |BD�|＝6，∴|d-（-2）|＝6，∴d＝4或d＝-8.（3）证明： AC�的坐标为c+4，A...
