高三数学复习 常见题型 定值、定点与存在性问题课件VIP免费

定值、定点与存在性问题•例1已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.•(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；•(2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明直线l过定点．题型一定点、定值问题•【解析】(1)如图，设动圆圆心O1(x，y)，由题意，|O1A|＝|O1M|.当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，∴|O1M|＝x2＋42.又|O1A|＝x－42＋y2，∴x－42＋y2＝x2＋42，化简，得y2＝8x(x≠0)．又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标(0,0)也满足方程y2＝8x，∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.•(2)由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.其中Δ＝－32kb＋64>0.由求根公式，得x1＋x2＝8－2bkk2，①x1x2＝b2k2.②因为x轴是∠PBQ的角平分线，所以y1x1＋1＝－y2x2＋1.•即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0.•∴(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0.•∴2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0.③•将①，②代入③，得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0.•∴k＝－b，此时Δ>0.•∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．•点评：定值、定点问题是指曲线变化或参数值变化时，某一个量不变或某一个点不变，解决的方法都是用参数把有关量表示出来，进行化简变形得出要求的定值．这类问题考查的是代数运算能力．•(2015·山东淄博期末)已知动圆C与圆C1：(x＋1)2＋y2＝1相外切，与圆C2：(x－1)2＋y2＝9相内切，设动圆圆心C的轨迹为T，且轨迹T与x轴右半轴的交点为A.•(1)求轨迹T的方程；•(2)已知直线l：y＝kx＋m与轨迹T相交于M，N两点(M，N不在x轴上)．若以MN为直径的圆过点A，求证：直线l过定点，并求出该定点的坐标．对点训练【解析】(1) |CC1|＝r＋1，|CC2|＝3－r，∴|CC1|＋|CC2|＝4.∴点C的轨迹是以C1，C2为焦点(c＝1)，长轴长2a＝4的椭圆，∴点C的轨迹T的方程是x24＋y23＝1.(2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，将y＝kx＋m代入椭圆方程，得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0.∴x1＋x2＝－8km4k2＋3，x1x2＝4m2－124k2＋3.① 以MN为直径的圆过点A，A点的坐标为(2,0)，∴AM→·AN→＝0，即(x1－2)(x2－2)＋y1y2＝0.② y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m，∴y1y2＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2.③将①③式代入②式，得7m2＋16km＋4k2＝0.∴mk＝－27或mk＝－2，且都满足Δ>0.由于直线l：y＝kx＋m与x轴的交点为(－mk，0)，当mk＝－2时，直线l恒过定点(2,0)，不合题意舍去．∴mk＝－27，直线l：y＝k(x－27)恒过定点(27，0)．例2设椭圆E：x2a2＋y21－a2＝1的焦点在x轴上．(1)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．【解析】(1)因为焦距为1，所以2a2－1＝14，解得a2＝58.故椭圆E的方程为8x25＋8y23＝1.(2)设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝2a2－1.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝y0x0＋c，直线F2P的斜率kF2P＝y0x0－c.故直线F2P的方程为y＝y0x0－c(x－c)．当x＝0时，y＝cy0c－x0，即点Q坐标为(0，cy0c－x0)．因此，直线F1Q的斜率为kF1Q＝y0c－x0.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝y0x0＋c·y0c－x0＝－1.化简，得y20＝x20－(2a2－1)．①将①代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限，解得x0＝a2，y0＝1－a2，即点P在定直线x＋y＝1上．•如图，已知抛物线C：x2＝4y，过点M(0,2)任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D(O为坐标原点)．对点训练•(1)证明：动点D在定直线上；•(2)作C的任意一条切线l(不含x轴)，与直线y＝2相交于点N1，与(1)中的定直线相交于点N2.证明：|MN2|2－|MN1|2为定值，并求此定值．【解析】(1)依题意可设AB方程为y＝kx＋2，代入x2＝4y，得x2＝4(kx＋2)，即x2－4kx－8＝0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有x1x2＝－8，直线AO的方程为y＝y1x1x；BD的方程为x＝x2.解得交点D的坐标为(x2，y1x2x1)．注意到x1x2＝－8及x21＝4y1，则有y＝y1x1x2x21＝－8y14y1＝－2.因此D点在定直线y＝－2(x...